题目
设矩阵1 4 5 1 -1-|||-A= 2 -2 2 4 1-|||-0 1 -3 -5 -2-|||-3 3 4 0 -2，则齐次线性方程组1 4 5 1 -1-|||-A= 2 -2 2 4 1-|||-0 1 -3 -5 -2-|||-3 3 4 0 -2的解空间的维数是（ ）。A.1B.2C.3D.4
设矩阵
，则齐次线性方程组
的解空间的维数是
（ ）。
A.1
B.2
C.3
D.4
题目解答
答案
对矩阵
进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，可得
，
由于非零行的行数为3，故矩阵的秩为
；由于矩阵为
矩阵，故齐次线性方程组中未知数的个数为
。
根据解空间维数的计算公式，可得解空间的维数
，
故应选B选项。
解析
步骤 1：矩阵的初等行变换
对矩阵A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，可得
A= $\left (\begin{matrix} 1& 4& 5& 1& -1\\ 2& -2& 2& 4& 1\\ 0& 1& -3& -5& -2\\ 3& 3& 4& 0& 2\end{matrix} ) \right.$
$14$ 5 1 .-1 0 -10 -8 2 3 ${r}_{3}+\dfrac {1}{10}{r}_{1}$ 0 1 -3 -5 . -2 ${r}_{4}-\dfrac {9}{10}{r}_{2}$ 0 -9 -11 -3 1
1 0 0 0 4 -10 0 0 5 -8 $-\dfrac {19}{5}$ $-\dfrac {19}{5}$ 1 2 $-\dfrac {24}{5}$ $-\dfrac {24}{5}$ .-1 3 .$-\dfrac {17}{10}$ .$-\dfrac {17}{10}$ $74-73$
1 4 5 1 -1 0 -10 -8 2 3 0 0 $-\dfrac {19}{5}$ $-\dfrac {24}{5}$ $-\dfrac {17}{10}$ 0 0 0 0 0，
步骤 2：计算矩阵的秩
由于非零行的行数为3，故矩阵的秩为R(A)=3；
步骤 3：计算解空间的维数
由于矩阵为$1\times 5$矩阵，故齐次线性方程组$AX=\overrightarrow {0}$中未知数的个数为$\hat {a}=2$。
根据解空间维数的计算公式，可得解空间的维数$\lim S=n-R(A)=5-3=2$，
对矩阵A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵，可得
A= $\left (\begin{matrix} 1& 4& 5& 1& -1\\ 2& -2& 2& 4& 1\\ 0& 1& -3& -5& -2\\ 3& 3& 4& 0& 2\end{matrix} ) \right.$
$14$ 5 1 .-1 0 -10 -8 2 3 ${r}_{3}+\dfrac {1}{10}{r}_{1}$ 0 1 -3 -5 . -2 ${r}_{4}-\dfrac {9}{10}{r}_{2}$ 0 -9 -11 -3 1
1 0 0 0 4 -10 0 0 5 -8 $-\dfrac {19}{5}$ $-\dfrac {19}{5}$ 1 2 $-\dfrac {24}{5}$ $-\dfrac {24}{5}$ .-1 3 .$-\dfrac {17}{10}$ .$-\dfrac {17}{10}$ $74-73$
1 4 5 1 -1 0 -10 -8 2 3 0 0 $-\dfrac {19}{5}$ $-\dfrac {24}{5}$ $-\dfrac {17}{10}$ 0 0 0 0 0，
步骤 2：计算矩阵的秩
由于非零行的行数为3，故矩阵的秩为R(A)=3；
步骤 3：计算解空间的维数
由于矩阵为$1\times 5$矩阵，故齐次线性方程组$AX=\overrightarrow {0}$中未知数的个数为$\hat {a}=2$。
根据解空间维数的计算公式，可得解空间的维数$\lim S=n-R(A)=5-3=2$，