题目
5.下列方程中是一阶线性方程的是（）A. (y-3)ln x , dx - x , dy = 0B. (dy)/(dx)=(y^2)/(1-2xy)C. xy^prime=y^2+x^2sinx;D. y^primeprime+y^prime-2y=0.
5.下列方程中是一阶线性方程的是（）
A. $(y-3)\ln x \, dx - x \, dy = 0$
B. $\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}}{1-2xy}$
C. $xy^{\prime}=y^{2}+x^{2}sinx;$
D. $y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=0.$
题目解答
答案
A. $(y-3)\ln x \, dx - x \, dy = 0$
解析
步骤 1：分析一阶线性微分方程的形式
一阶线性微分方程的一般形式为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
步骤 2：分析选项 (A)
方程 $(y-3)\ln x \, dx - x \, dy = 0$ 可以重写为 $\frac{dy}{dx} - \frac{\ln x}{x} y = -\frac{3 \ln x}{x}$，符合一阶线性微分方程的形式。
步骤 3：分析选项 (B)
方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1-2xy}$ 中，$y$ 的次数为 2，因此是非线性方程。
步骤 4：分析选项 (C)
方程 $xy' = y^2 + x^2 \sin x$ 可以重写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x} + x \sin x$，$y$ 的次数为 2，因此是非线性方程。
步骤 5：分析选项 (D)
方程 $y'' + y' - 2y = 0$ 包含二阶导数，因此是非一阶方程。
一阶线性微分方程的一般形式为 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是关于 $x$ 的函数。
步骤 2：分析选项 (A)
方程 $(y-3)\ln x \, dx - x \, dy = 0$ 可以重写为 $\frac{dy}{dx} - \frac{\ln x}{x} y = -\frac{3 \ln x}{x}$，符合一阶线性微分方程的形式。
步骤 3：分析选项 (B)
方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{1-2xy}$ 中，$y$ 的次数为 2，因此是非线性方程。
步骤 4：分析选项 (C)
方程 $xy' = y^2 + x^2 \sin x$ 可以重写为 $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x} + x \sin x$，$y$ 的次数为 2，因此是非线性方程。
步骤 5：分析选项 (D)
方程 $y'' + y' - 2y = 0$ 包含二阶导数，因此是非一阶方程。