题目
8.设 sim N(0,1) ,则 Y=2X+1 的密度为-|||-()-|||-A. dfrac (1)(sqrt {2pi )}(e)^-dfrac ({y^2)(2)} .-|||-B.B. dfrac (1)(sqrt {2pi )cdot 3}(e)^-dfrac ({y^2)(2)} .-|||-C.C. dfrac (1)(sqrt {2pi )cdot 2}(e)^-dfrac ({(y-1)^2)(2cdot {2)^2}}-|||-D. D. dfrac (1)(sqrt {2pi )}(e)^-dfrac ({y^2)(2cdot {2)^2}}
题目解答
答案
C. $\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\cdot 2}{e}^{-\dfrac {{(y-1)}^{2}}{2\cdot {2}^{2}}}$
解析
步骤 1：确定 Y 的分布
由于 $X \sim N(0,1)$，即 $X$ 服从标准正态分布，且 $Y = 2X + 1$，根据线性变换的性质，$Y$ 服从正态分布 $N(1, 4)$。这是因为 $Y$ 的均值为 $2 \times 0 + 1 = 1$，方差为 $2^2 \times 1 = 4$。
步骤 2：写出 Y 的密度函数
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的概率密度函数为
$$
f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
将 $\mu = 1$ 和 $\sigma^2 = 4$ 代入，得到 $Y$ 的密度函数为
$$
f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot 2}e^{-\frac{(y-1)^2}{2\cdot 2^2}}
$$
由于 $X \sim N(0,1)$，即 $X$ 服从标准正态分布，且 $Y = 2X + 1$，根据线性变换的性质，$Y$ 服从正态分布 $N(1, 4)$。这是因为 $Y$ 的均值为 $2 \times 0 + 1 = 1$，方差为 $2^2 \times 1 = 4$。
步骤 2：写出 Y 的密度函数
正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的概率密度函数为
$$
f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
将 $\mu = 1$ 和 $\sigma^2 = 4$ 代入，得到 $Y$ 的密度函数为
$$
f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot 2}e^{-\frac{(y-1)^2}{2\cdot 2^2}}
$$