题目
16、计算oint_(L)(y+2xy)dx+(x^2+2x+2y^2)dy，其中L为圆线x^2+y^2=a^2(a>0)取顺时针方向.
16、计算$\oint_{L}(y+2xy)dx+(x^{2}+2x+2y^{2})dy$，其中L为圆线$x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$取顺时针方向.
题目解答
答案
将曲线积分转换为格林公式形式，其中 $P = y + 2xy$，$Q = x^2 + 2x + 2y^2$。计算得
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1.
\]
由于曲线为顺时针方向，格林公式结果取负号。
\[
\oint_{L} Pdx + Qdy = -\iint_{D} 1 \, dA = -\pi a^2.
\]
**答案：** $\boxed{-\pi a^2}$
解析
步骤 1：确定格林公式适用条件
格林公式适用于平面上的闭合曲线，且曲线内部的函数具有连续的一阶偏导数。题目中的曲线L为圆线$x^{2}+y^{2}=a^{2}$，满足闭合曲线条件，且函数$P = y + 2xy$和$Q = x^2 + 2x + 2y^2$在圆内部具有连续的一阶偏导数，因此可以应用格林公式。
步骤 2：计算偏导数
计算$P$和$Q$的偏导数，得到：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x + 2, \]
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = 1 + 2x. \]
因此，
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2x + 2) - (1 + 2x) = 1. \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，有
\[ \oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA. \]
由于曲线L是顺时针方向，格林公式结果取负号，因此
\[ \oint_{L} Pdx + Qdy = -\iint_{D} 1 \, dA. \]
其中$D$是圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$的内部区域，其面积为$\pi a^2$，所以
\[ \oint_{L} Pdx + Qdy = -\pi a^2. \]
格林公式适用于平面上的闭合曲线，且曲线内部的函数具有连续的一阶偏导数。题目中的曲线L为圆线$x^{2}+y^{2}=a^{2}$，满足闭合曲线条件，且函数$P = y + 2xy$和$Q = x^2 + 2x + 2y^2$在圆内部具有连续的一阶偏导数，因此可以应用格林公式。
步骤 2：计算偏导数
计算$P$和$Q$的偏导数，得到：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x + 2, \]
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = 1 + 2x. \]
因此，
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2x + 2) - (1 + 2x) = 1. \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，有
\[ \oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA. \]
由于曲线L是顺时针方向，格林公式结果取负号，因此
\[ \oint_{L} Pdx + Qdy = -\iint_{D} 1 \, dA. \]
其中$D$是圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$的内部区域，其面积为$\pi a^2$，所以
\[ \oint_{L} Pdx + Qdy = -\pi a^2. \]