求函数 F(s)= (s)/((s+1)(s+2)) 的拉普拉斯逆变换A. 以上都不对B. 2e^-2t - e^-tC. e^-2t - e^tD. e^-2t + e^-t

考查要点：本题主要考查拉普拉斯逆变换的计算，特别是利用部分分式展开法将有理分式分解为简单分式之和，再结合标准拉普拉斯变换对求解。

解题核心思路：

1. 分解分式：将给定的有理分式 $\frac{s}{(s+1)(s+2)}$ 分解为 $\frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$ 的形式。
2. 确定系数：通过代入特定值或比较系数法求解 $A$ 和 $B$。
3. 逐项求逆变换：利用标准拉普拉斯变换对 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\} = e^{-at}$，将分解后的分式转换为时间函数。

破题关键点：

• 正确分解分式是关键步骤，需注意代数运算的准确性。
• 符号处理：分解后的系数符号容易出错，需仔细验证。

将 $F(s) = \frac{s}{(s+1)(s+2)}$ 分解为部分分式：
假设 $\frac{s}{(s+1)(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$，通分后得：
$s = A(s+2) + B(s+1).$

步骤1：代入特定值求系数

• 令 $s = -1$，代入方程：
  $-1 = A(-1+2) + B(-1+1) \implies -1 = A \implies A = -1.$
• 令 $s = -2$，代入方程：
  $-2 = A(-2+2) + B(-2+1) \implies -2 = -B \implies B = 2.$

步骤2：分解分式
原式可表示为：
$F(s) = \frac{-1}{s+1} + \frac{2}{s+2}.$

步骤3：逐项求逆变换
根据拉普拉斯变换对 $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+a}\right\} = e^{-at}$，得：
$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = -e^{-t} + 2e^{-2t} = 2e^{-2t} - e^{-t}.$