题目
按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数：（1）1234;（2）4132;（3）3421;（4）2413;（5）13... (2n-1)24... (2n);（6）13... (2n-1)(2n)(2n-2)... 2.
按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数：
（1）1234;
（2）4132;
（3）3421;
（4）2413;
（5）$13\cdots \left(2n-1\right)24\cdots \left(2n\right)$;
（6）$13\cdots \left(2n-1\right)\left(2n\right)\left(2n-2\right)\cdots 2$.
题目解答
答案
本题考查了逆序数的知识点。逆序数在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
解:(1)逆序数为0;(2)逆序数为4;(3)逆序数为5;(4)逆序数为3;(5)逆序数为n(n-1)/2;(6)逆序数为n(n-1).
解析
步骤 1：定义逆序数
逆序数是指在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
步骤 2：计算（1）的逆序数
排列1234中，没有一对数的前后位置与大小顺序相反，因此逆序数为0。
步骤 3：计算（2）的逆序数
排列4132中，有4个逆序：41, 43, 42, 32。因此逆序数为4。
步骤 4：计算（3）的逆序数
排列3421中，有5个逆序：32, 31, 42, 41, 21。因此逆序数为5。
步骤 5：计算（4）的逆序数
排列2413中，有3个逆序：21, 41, 43。因此逆序数为3。
步骤 6：计算（5）的逆序数
排列$13\cdots \left(2n-1\right)24\cdots \left(2n\right)$中，每个奇数都比它后面的偶数小，因此每个奇数与它后面的偶数构成一个逆序。共有n个奇数，每个奇数与它后面的n个偶数构成逆序，因此逆序数为n(n-1)/2。
步骤 7：计算（6）的逆序数
排列$13\cdots \left(2n-1\right)\left(2n\right)\left(2n-2\right)\cdots 2$中，每个奇数都比它后面的偶数小，因此每个奇数与它后面的偶数构成一个逆序。共有n个奇数，每个奇数与它后面的n个偶数构成逆序，因此逆序数为n(n-1)。
逆序数是指在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
步骤 2：计算（1）的逆序数
排列1234中，没有一对数的前后位置与大小顺序相反，因此逆序数为0。
步骤 3：计算（2）的逆序数
排列4132中，有4个逆序：41, 43, 42, 32。因此逆序数为4。
步骤 4：计算（3）的逆序数
排列3421中，有5个逆序：32, 31, 42, 41, 21。因此逆序数为5。
步骤 5：计算（4）的逆序数
排列2413中，有3个逆序：21, 41, 43。因此逆序数为3。
步骤 6：计算（5）的逆序数
排列$13\cdots \left(2n-1\right)24\cdots \left(2n\right)$中，每个奇数都比它后面的偶数小，因此每个奇数与它后面的偶数构成一个逆序。共有n个奇数，每个奇数与它后面的n个偶数构成逆序，因此逆序数为n(n-1)/2。
步骤 7：计算（6）的逆序数
排列$13\cdots \left(2n-1\right)\left(2n\right)\left(2n-2\right)\cdots 2$中，每个奇数都比它后面的偶数小，因此每个奇数与它后面的偶数构成一个逆序。共有n个奇数，每个奇数与它后面的n个偶数构成逆序，因此逆序数为n(n-1)。