10.下列命题中正确的是（）A. 若f(x)和g(x)是无穷大量，则f(x)+g(x)是无穷大量B. 若f(x)g(x)是无穷大量,则f(x)和g(x)中至少有一个是无穷大量.C. 若f(x)是无穷小量,则(1)/(f(x))为无穷大量.D. 若f(x)g(x)是无穷大量,则f(x)和g(x)中至少有一个是无界变量

考查要点：本题主要考查无穷大量与无穷小量的性质，以及它们的运算规律。需要理解无穷大量、无界变量的定义，掌握反例的构造方法。

解题核心思路：

1. 无穷大量相加未必是无穷大：若两个无穷大量符号相反，可能相互抵消。
2. 乘积为无穷大的条件：至少有一个因子是无穷大（否则乘积无法无界）。
3. 无穷小量的倒数不一定是无穷大：需排除震荡或无定义的情况。
4. 乘积为无穷大与无界的关系：若两个变量均无界，则乘积可能无界，但至少一个必须无界。

破题关键点：

• 反例法：通过构造具体函数验证命题是否成立。
• 逻辑推理：结合无穷大量、无界变量的定义进行反证。

选项A分析

命题：若$f(x)$和$g(x)$是无穷大量，则$f(x)+g(x)$是无穷大量。
反例：取$f(x)=x$，$g(x)=-x$，当$x \to \infty$时，$f(x)+g(x)=0$，显然不是无穷大量。
结论：错误。

选项B分析

命题：若$f(x)g(x)$是无穷大量，则$f(x)$和$g(x)$中至少有一个是无穷大量。
推理：假设$f(x)$和$g(x)$均非无穷大量，则存在常数$M>0$，使得$|f(x)| \leq M$且$|g(x)| \leq M$，此时$|f(x)g(x)| \leq M^2$，与$f(x)g(x)$是无穷大量矛盾。
结论：正确。

选项C分析

命题：若$f(x)$是无穷小量，则$\frac{1}{f(x)}$为无穷大量。
反例1：若$f(x)=0$，则$\frac{1}{f(x)}$无定义。
反例2：取$f(x)=x \sin \frac{1}{x}$，当$x \to 0$时，$f(x) \to 0$，但$\frac{1}{f(x)}$震荡无界，不是无穷大量（无穷大量要求绝对值单向趋于无穷）。
结论：错误。

选项D分析

命题：若$f(x)g(x)$是无穷大量，则$f(x)$和$g(x)$中至少有一个是无界变量。
推理：若$f(x)$和$g(x)$均无界，则存在$|f(x)| \geq N$或$|g(x)| \geq N$，此时$|f(x)g(x)|$可能无界。但若两者均有界，则$|f(x)g(x)|$必有界，与题设矛盾。
结论：正确。