题目
25. (4.0分) 设f(x)=x,0≤x≤π，且f(x)=(a_(0))/(2)+sum_(n=1)^inftya_(n)cos nx，则a_(2)=____.
25. (4.0分)
设f(x)=x,0≤x≤π，且$f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx$，则$a_{2}$=____.
题目解答
答案
根据余弦级数展开公式，系数 $ a_n $ 的计算公式为：
\[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \]
对于 $ f(x) = x $ 和 $ n = 2 $，有：
\[ a_2 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \cos 2x \, dx \]
使用分部积分法，设 $ u = x $，$ dv = \cos 2x \, dx $，则：
\[ \int_0^{\pi} x \cos 2x \, dx = \left[ x \cdot \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{\sin 2x}{2} \, dx = 0 - \left[ -\frac{\cos 2x}{4} \right]_0^{\pi} = 0 \]
因此，$ a_2 = \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0 $。
答案：$\boxed{0}$
解析
步骤 1：确定系数 $a_n$ 的计算公式
根据余弦级数展开公式，系数 $a_n$ 的计算公式为：\[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \]
步骤 2：代入 $f(x) = x$ 和 $n = 2$
对于 $f(x) = x$ 和 $n = 2$，有：\[ a_2 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \cos 2x \, dx \]
步骤 3：使用分部积分法计算积分
设 $u = x$，$dv = \cos 2x \, dx$，则：\[ \int_0^{\pi} x \cos 2x \, dx = \left[ x \cdot \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{\sin 2x}{2} \, dx = 0 - \left[ -\frac{\cos 2x}{4} \right]_0^{\pi} = 0 \]
步骤 4：计算 $a_2$
因此，$a_2 = \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0$。
根据余弦级数展开公式，系数 $a_n$ 的计算公式为：\[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \]
步骤 2：代入 $f(x) = x$ 和 $n = 2$
对于 $f(x) = x$ 和 $n = 2$，有：\[ a_2 = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x \cos 2x \, dx \]
步骤 3：使用分部积分法计算积分
设 $u = x$，$dv = \cos 2x \, dx$，则：\[ \int_0^{\pi} x \cos 2x \, dx = \left[ x \cdot \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} \frac{\sin 2x}{2} \, dx = 0 - \left[ -\frac{\cos 2x}{4} \right]_0^{\pi} = 0 \]
步骤 4：计算 $a_2$
因此，$a_2 = \frac{2}{\pi} \cdot 0 = 0$。