0301 计算积分int_(C)(x-y+ix^2)dz，其中C是连接圆点与1+i的直线段。

考查要点：本题主要考查复变函数中线积分的计算方法，涉及路径参数化、积分变量替换以及复数运算。

解题核心思路：

1. 参数化路径：将直线段$C$表示为参数方程，通常选择参数$t \in [0,1]$，使得起点对应$t=0$，终点对应$t=1$。
2. 表达被积函数：将复积分$\int_C f(z) \, dz$中的$z$、$x$、$y$、$dz$均用参数$t$表示，转化为实积分。
3. 计算定积分：代入参数化后的表达式，计算关于$t$的定积分。

破题关键点：

• 正确参数化路径：直线段$C$的参数方程为$z(t) = t + it$，对应$x = t$，$y = t$。
• 准确计算$dz$：$dz = (1+i)dt$。
• 简化被积函数：代入$x$和$y$后，被积函数化简为$i t^2$，避免复杂运算。

参数化路径

直线段$C$连接原点$0$与点$1+i$，参数化为：
$z(t) = t + it \quad (0 \leq t \leq 1)$
对应坐标为$x = t$，$y = t$，微分$dz$为：
$dz = \frac{dz}{dt} dt = (1+i) dt$

表达被积函数

将$x = t$，$y = t$代入被积函数：
$x - y + i x^2 = t - t + i t^2 = i t^2$

计算积分

原积分转化为：
$\begin{aligned}\int_C (x - y + i x^2) dz &= \int_0^1 i t^2 \cdot (1+i) dt \\&= (1+i) \int_0^1 i t^2 dt \\&= (1+i) \cdot \left[ \frac{i t^3}{3} \right]_0^1 \\&= (1+i) \cdot \frac{i}{3} \\&= \frac{(1+i)i}{3} = \frac{-1 + i}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}i\end{aligned}$