题目
求向量组1-|||-α1= 1-|||-3-|||-5 , 1-|||-α1= 1-|||-3-|||-5 , 1-|||-α1= 1-|||-3-|||-5 , 1-|||-α1= 1-|||-3-|||-5的秩并求该向量组的一个极大无关组 并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。
求向量组
, 
, 
, 
的秩并求该向量组的一个极大无关组 并把不属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。
题目解答
答案
我们将给定的向量组 
按列排列成一个矩阵 A：
对矩阵 
进行行变换，化简成行最简形：
进行高斯消元法，化简矩阵 ：
第二行减去第一行得到：
，变为 
第三行减去三倍的第一行得到：
第四行减去五倍的第一行得到： 
第三行加两倍的第二行得到：
第四行加三倍的第二行得到：
现在，矩阵 A 的行最简形为：
∵第三行和第四行全为零
∴矩阵 A 中的后两个向量 
和 
可以由前两个向量 
和 
线性表示。
因此，秩为 2，向量组的一个极大无关组为
将和 用极大无关组线性表示：
综上所述，秩为2，一个极大无关组为
，
解析
考查要点：本题主要考查向量组的秩、极大无关组的求解，以及用极大无关组线性表示其他向量的能力。
解题核心思路：
- 秩的定义：向量组的秩等于极大无关组中向量的个数。
- 极大无关组的判定：通过矩阵的行最简形确定主元所在列，对应原向量组中的向量即为极大无关组。
- 线性表示关系：非主元列的系数可直接从行最简形矩阵中读出，从而建立线性组合关系。
破题关键点：
- 构造矩阵：将向量组按列排列成矩阵。
- 行最简形化简：通过初等行变换确定主元位置。
- 系数提取：非主元列的系数对应线性组合的系数。
步骤1：构造矩阵
将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 按列排列成矩阵 $A$：
$A = \begin{pmatrix}| & | & | & | \\\alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4 \\| & | & | & |\end{pmatrix}$
步骤2：行最简形化简
通过初等行变换将矩阵 $A$ 化为行最简形：
- 第一行处理：以首元素为主元，消去下方元素。
- 第二行处理：第二行减去第一行，得到 $(0, -1, -2, 1)$。
- 第三行处理：第三行减去三倍第一行，得到 $(0, -4, -2, 1)$。
- 第四行处理：第四行减去五倍第一行，得到 $(0, -2, -4, 2)$。
- 第二行标准化：将第二行首元素化为1，得 $(0, 1, 2, -1)$。
- 消去上方元素：第三行加两倍第二行，第四行加三倍第二行，最终第三、四行全为零。
行最简形矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 & 3 \\0 & 1 & 3 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
步骤3：确定极大无关组
- 主元位置：第一列和第二列对应原向量 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$，故极大无关组为 $\{\alpha_1, \alpha_2\}$。
- 秩：非零行数为2，故向量组的秩为2。
步骤4：线性表示关系
- 第三列：对应 $\alpha_3 = -2\alpha_1 + 3\alpha_2$。
- 第四列：对应 $\alpha_4 = 3\alpha_1 + 4\alpha_2$。