题目
已知a=((31))/((32))，b=cos(1)/(4)，c=4sin(1)/(4)，则（ ）A. c＞b＞aB. b＞a＞cC. a＞b＞cD. a＞c＞b
已知a=$\frac{{31}}{{32}}$，b=cos$\frac{1}{4}$，c=4sin$\frac{1}{4}$，则（ ）
- A. c＞b＞a
- B. b＞a＞c
- C. a＞b＞c
- D. a＞c＞b
题目解答
答案
解：设f（x）=cosx+$\frac{1}{2}{x}^{2}-1$，（0＜x＜1），则f′（x）=x-sinx，
设g（x）=x-sinx（0＜x＜1），g′（x）=1-cosx＞0，
故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）=0，
即f′（x）＞0，故f（x）（0，1）单调递增，
所以f（$\frac{1}{4}$）＞f（0）=0，可得cos$\frac{1}{4}$$＞\frac{31}{32}$，故b＞a，
利用三角函数线可得x$∈（0，\frac{π}{2}$）时，tanx＞x，
∴tan$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{4}$，即$\frac{sin\frac{1}{4}}{cos\frac{1}{4}}＞\frac{1}{4}$，∴4sin$\frac{1}{4}$$＞cos\frac{1}{4}$，故c＞b．
综上：c＞b＞a，
故选：A．
设g（x）=x-sinx（0＜x＜1），g′（x）=1-cosx＞0，
故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）=0，
即f′（x）＞0，故f（x）（0，1）单调递增，
所以f（$\frac{1}{4}$）＞f（0）=0，可得cos$\frac{1}{4}$$＞\frac{31}{32}$，故b＞a，
利用三角函数线可得x$∈（0，\frac{π}{2}$）时，tanx＞x，
∴tan$\frac{1}{4}$＞$\frac{1}{4}$，即$\frac{sin\frac{1}{4}}{cos\frac{1}{4}}＞\frac{1}{4}$，∴4sin$\frac{1}{4}$$＞cos\frac{1}{4}$，故c＞b．
综上：c＞b＞a，
故选：A．
解析
步骤 1：定义函数f(x)
设f(x) = cosx + $\frac{1}{2}x^2$ - 1，其中0 < x < 1。我们定义这个函数是为了比较cos$\frac{1}{4}$和$\frac{31}{32}$的大小。
步骤 2：求导f'(x)
f'(x) = -sinx + x。我们对f(x)求导，得到f'(x)。
步骤 3：定义函数g(x)
设g(x) = x - sinx，其中0 < x < 1。我们定义这个函数是为了证明f'(x) > 0。
步骤 4：求导g'(x)
g'(x) = 1 - cosx。我们对g(x)求导，得到g'(x)。
步骤 5：证明g'(x) > 0
因为0 < x < 1，所以cosx < 1，从而g'(x) = 1 - cosx > 0。这表明g(x)在(0, 1)区间内单调递增。
步骤 6：证明g(x) > 0
因为g(x)在(0, 1)区间内单调递增，所以g(x) > g(0) = 0。这表明f'(x) > 0。
步骤 7：证明f(x) > 0
因为f'(x) > 0，所以f(x)在(0, 1)区间内单调递增。因此，f($\frac{1}{4}$) > f(0) = 0。这表明cos$\frac{1}{4}$ > $\frac{31}{32}$。
步骤 8：证明c > b
利用三角函数线，当x$∈（0，\frac{π}{2}$）时，tanx > x。所以tan$\frac{1}{4}$ > $\frac{1}{4}$，即$\frac{sin\frac{1}{4}}{cos\frac{1}{4}}$ > $\frac{1}{4}$，从而4sin$\frac{1}{4}$ > cos$\frac{1}{4}$。这表明c > b。
步骤 9：得出结论
综上所述，c > b > a。
设f(x) = cosx + $\frac{1}{2}x^2$ - 1，其中0 < x < 1。我们定义这个函数是为了比较cos$\frac{1}{4}$和$\frac{31}{32}$的大小。
步骤 2：求导f'(x)
f'(x) = -sinx + x。我们对f(x)求导，得到f'(x)。
步骤 3：定义函数g(x)
设g(x) = x - sinx，其中0 < x < 1。我们定义这个函数是为了证明f'(x) > 0。
步骤 4：求导g'(x)
g'(x) = 1 - cosx。我们对g(x)求导，得到g'(x)。
步骤 5：证明g'(x) > 0
因为0 < x < 1，所以cosx < 1，从而g'(x) = 1 - cosx > 0。这表明g(x)在(0, 1)区间内单调递增。
步骤 6：证明g(x) > 0
因为g(x)在(0, 1)区间内单调递增，所以g(x) > g(0) = 0。这表明f'(x) > 0。
步骤 7：证明f(x) > 0
因为f'(x) > 0，所以f(x)在(0, 1)区间内单调递增。因此，f($\frac{1}{4}$) > f(0) = 0。这表明cos$\frac{1}{4}$ > $\frac{31}{32}$。
步骤 8：证明c > b
利用三角函数线，当x$∈（0，\frac{π}{2}$）时，tanx > x。所以tan$\frac{1}{4}$ > $\frac{1}{4}$，即$\frac{sin\frac{1}{4}}{cos\frac{1}{4}}$ > $\frac{1}{4}$，从而4sin$\frac{1}{4}$ > cos$\frac{1}{4}$。这表明c > b。
步骤 9：得出结论
综上所述，c > b > a。