题目
设随机变量X的分布函数F(x)，则下列结论中一定成立的是（）(1) F(+∞) = 0(2) F(-∞) = 1(3) 0 ≤ F(x) ≤ 1(4) F(x)为连续函数
设随机变量X的分布函数F(x)，则下列结论中一定成立的是（）
(1) F(+∞) = 0
(2) F(-∞) = 1
(3) 0 ≤ F(x) ≤ 1
(4) F(x)为连续函数
题目解答
答案
随机变量X的分布函数F(x)，按定义是随机变量X取值小于或等于x的概率。对于分布函数的特性，有以下几点：
F(+∞)=1：这表明随着x趋向于正无穷，分布函数趋于1，因为概率不能超过1且所有可能的结果均已包含在内。因此，结论(1)是错误的。
F(−∞)=0：这表明随着x趋向于负无穷，分布函数趋于0，表示随机变量X取值小于任何数的概率是0。因此，结论(2)是错误的。
0≤F(x)≤1：分布函数的值总是在0和1之间，包括0和1。这反映了概率的基本属性，即任何事件的概率不能小于0或大于1。因此，结论(3)是正确的。
F(x)为连续函数：并非所有分布函数都是连续的。例如，在离散分布中，分布函数可能有跳跃，如二项分布或泊松分布的分布函数。因此，结论(4)是错误的。
基于以上分析，唯一一定成立的结论是(3) 0 ≤ F(x) ≤ 1。这是分布函数的基本性质，不依赖于特定的分布类型。
正确答案是 (3)。
解析
步骤 1：理解分布函数的定义
分布函数F(x)定义为随机变量X取值小于或等于x的概率，即F(x) = P(X ≤ x)。分布函数的值域为[0, 1]，因为概率的取值范围是[0, 1]。
步骤 2：分析每个结论
(1) F(+∞) = 0：错误。随着x趋向于正无穷，分布函数F(x)应该趋向于1，因为所有可能的取值都包含在内，所以F(+∞) = 1。
(2) F(-∞) = 1：错误。随着x趋向于负无穷，分布函数F(x)应该趋向于0，因为随机变量X取值小于任何数的概率是0，所以F(-∞) = 0。
(3) 0 ≤ F(x) ≤ 1：正确。分布函数的值域为[0, 1]，因为概率的取值范围是[0, 1]。
(4) F(x)为连续函数：错误。并非所有分布函数都是连续的。例如，在离散分布中，分布函数可能有跳跃，如二项分布或泊松分布的分布函数。
步骤 3：确定正确结论
根据以上分析，唯一一定成立的结论是(3) 0 ≤ F(x) ≤ 1。这是分布函数的基本性质，不依赖于特定的分布类型。
分布函数F(x)定义为随机变量X取值小于或等于x的概率，即F(x) = P(X ≤ x)。分布函数的值域为[0, 1]，因为概率的取值范围是[0, 1]。
步骤 2：分析每个结论
(1) F(+∞) = 0：错误。随着x趋向于正无穷，分布函数F(x)应该趋向于1，因为所有可能的取值都包含在内，所以F(+∞) = 1。
(2) F(-∞) = 1：错误。随着x趋向于负无穷，分布函数F(x)应该趋向于0，因为随机变量X取值小于任何数的概率是0，所以F(-∞) = 0。
(3) 0 ≤ F(x) ≤ 1：正确。分布函数的值域为[0, 1]，因为概率的取值范围是[0, 1]。
(4) F(x)为连续函数：错误。并非所有分布函数都是连续的。例如，在离散分布中，分布函数可能有跳跃，如二项分布或泊松分布的分布函数。
步骤 3：确定正确结论
根据以上分析，唯一一定成立的结论是(3) 0 ≤ F(x) ≤ 1。这是分布函数的基本性质，不依赖于特定的分布类型。