3.判断题（1分）给定向量 R=(r_(1),r_(2),...,r_(n))，则R=(r_(1)+r_(2)+...+r_(n))/(n)是一种范数。（）A 错B 对

解析

题目要求判断给定的表达式是否是一种范数。首先，我们需要了解范数的定义和性质。范数是一种函数，它将向量映射到非负实数，并且满足以下三个条件：

1. 非负性：对于任何向量 $R$，有 $$R$ \geq 0$，并且当且仅当 $R = 0$ 时， $$R$ = 0$。
2. 齐次性：对于任何标量 $\alpha$ 和向量 $R$，有 $$\alpha R$ = |\alpha| $R$$。
3. 三角不等式：对于任何向量 $R$ 和 $S$，有 $$R + S$ \leq $R$ + $S$$。

现在，我们来检查给定的表达式是否满足这些条件。

给定的表达式是：
$$R$ = \frac{r_1 + r_2 + \cdots + r_n}{n}$

1. 非负性：

   • 如果所有 $r_i \geq 0$，则 $$R$ \geq 0$。
   • 但是，如果 $R$ 中有负数，那么 $$R$$ 可能为负数，这违反了非负性的要求。
   • 另外，当 $R = 0$ 时， $$R$ = 0$，这满足条件。

2. 齐次性：

   • 对于任何标量 $\alpha$ 和向量 $R$，有：
     $$\alpha R$ = \frac{\alpha r_1 + \alpha r_2 + \cdots + \alpha r_n}{n} = \alpha \frac{r_1 + r_2 + \cdots + r_n}{n} = \alpha $R$$
   • 这里，齐次性只在 $\alpha \geq 0$ 时成立，因为如果 $\alpha < 0$，则 $$\alpha R$$ 可能为负数，这违反了范数的定义。

3. 三角不等式：

   • 对于任何向量 $R$ 和 $S$，有：
     $$R + S$ = \frac{(r_1 + s_1) + (r_2 + s_2) + \cdots + (r_n + s_n)}{n} = \frac{(r_1 + r_2 + \cdots + r_n) + (s_1 + s_2 + \cdots + s_n)}{n} = \frac{r_1 + r_2 + \cdots + r_n}{n} + \frac{s_1 + s_2 + \cdots + s_n}{n} = $R$ + $S$$
   • 这里，三角不等式是成立的，但这是在假设所有 $r_i$ 和 $s_i$ 都是非负的情况下。

综上所述，给定的表达式 $$R$ = \frac{r_1 + r_2 + \cdots + r_n}{n}$ 不满足范数的非负性和齐次性要求，因此它不是一种范数。

答案

A 错