27/50 单选题（分值2.0分，难度：易）int_(0)^1(dx)/(1+sqrt(x))=A. 2B. ln2C. ln2-2D. 2-2ln2

本题考查定积分的计算，解题思路是通过换元法将被积函数化简，然后再进行积分运算。

1. 换元：
   令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，$dx = 2tdt$。
   当$x = 0$时，$t = \sqrt{0} = 0$；当$x = 1$时，$t = \sqrt{1} = 1$。
   此时原积分$\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$可化为$\int_{0}^{1}\frac{2t}{1 + t}dt$。
2. 对被积函数进行变形：
   将$\frac{2t}{1 + t}$变形为$\frac{2t + 2 - 2}{1 + t}$，进一步化简可得$\frac{2(t + 1) - 2}{1 + t}=2-\frac{2}{1 + t}$。
   所以$\int_{0}^{1}\frac{2t}{1 + t}dt=\int_{0}^{1}(2-\frac{2}{1 + t})dt$。
3. 利用积分的性质拆分积分：
   根据积分的性质$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得：
   $\int_{0}^{1}(2-\frac{2}{1 + t})dt=\int_{0}^{1}2dt-\int_{0}^{1}\frac{2}{1 + t}dt$。
4. 分别计算两个积分：
   • 计算$\int_{0}^{1}2dt$：
     根据积分公式$\int_{a}^{b}kdx=k(b - a)$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{1}2dt=2\times(1 - 0)=2$。
   • 计算$\int_{0}^{1}\frac{2}{1 + t}dt$：
     令$u = 1 + t$，则$du = dt$。
     当$t = 0$时，$u = 1 + 0 = 1$；当$t = 1$时，$u = 1 + 1 = 2$。
     所以$\int_{0}^{1}\frac{2}{1 + t}dt=2\int_{1}^{2}\frac{1}{u}du$。
     根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$，可得$2\int_{1}^{2}\frac{1}{u}du=2[\ln u]_{1}^{2}=2(\ln 2 - \ln 1)=2\ln 2$。
5. 计算最终结果：
   将上述两个积分的结果代入$\int_{0}^{1}(2-\frac{2}{1 + t})dt=\int_{0}^{1}2dt-\int_{0}^{1}\frac{2}{1 + t}dt$，可得：
   $\int_{0}^{1}(2-\frac{2}{1 + t})dt=2 - 2\ln 2$。