题目
5.设f_(n)(x)为E上非负可测函数列，若lim_(ntoinfty)intlimits_(E)f_(n)(x)dx=0，则f_(n)Rightarrow 0.
5.设$f_{n}(x)$为E上非负可测函数列，若$\lim_{n\to\infty}\int\limits_{E}f_{n}(x)dx=0$，则$f_{n}\Rightarrow 0$.
题目解答
答案
对于任意 $\sigma > 0$，由 $f_n$ 非负可得
\[
\sigma \cdot mE[|f_n| \geq \sigma] \leq \int_{E[|f_n| \geq \sigma]} f_n \, dx \leq \int_E f_n \, dx.
\]
由题设 $\lim_{n \to \infty} \int_E f_n \, dx = 0$，故
\[
\lim_{n \to \infty} mE[|f_n| \geq \sigma] \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sigma} \int_E f_n \, dx = 0.
\]
因此，$f_n$ 依测度收敛于 0，即
\[
\boxed{f_n \Rightarrow 0}.
\]
解析
步骤 1：定义和条件
给定$f_{n}(x)$为E上非负可测函数列，且$\lim_{n\to\infty}\int\limits_{E}f_{n}(x)dx=0$。我们需要证明$f_{n}\Rightarrow 0$，即$f_{n}$依测度收敛于0。
步骤 2：利用非负性
对于任意 $\sigma > 0$，由于$f_{n}(x)$非负，我们有
\[ \sigma \cdot mE[|f_n| \geq \sigma] \leq \int_{E[|f_n| \geq \sigma]} f_n \, dx. \]
这里$mE[|f_n| \geq \sigma]$表示集合$\{x \in E : |f_n(x)| \geq \sigma\}$的测度。
步骤 3：积分不等式
由于$f_{n}(x)$非负，我们进一步有
\[ \int_{E[|f_n| \geq \sigma]} f_n \, dx \leq \int_E f_n \, dx. \]
结合步骤2，我们得到
\[ \sigma \cdot mE[|f_n| \geq \sigma] \leq \int_E f_n \, dx. \]
步骤 4：极限分析
由题设$\lim_{n \to \infty} \int_E f_n \, dx = 0$，我们有
\[ \lim_{n \to \infty} mE[|f_n| \geq \sigma] \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sigma} \int_E f_n \, dx = 0. \]
这意味着对于任意$\sigma > 0$，集合$\{x \in E : |f_n(x)| \geq \sigma\}$的测度趋于0。
步骤 5：依测度收敛
根据依测度收敛的定义，如果对于任意$\sigma > 0$，集合$\{x \in E : |f_n(x)| \geq \sigma\}$的测度趋于0，则$f_{n}$依测度收敛于0，即$f_{n}\Rightarrow 0$。
给定$f_{n}(x)$为E上非负可测函数列，且$\lim_{n\to\infty}\int\limits_{E}f_{n}(x)dx=0$。我们需要证明$f_{n}\Rightarrow 0$，即$f_{n}$依测度收敛于0。
步骤 2：利用非负性
对于任意 $\sigma > 0$，由于$f_{n}(x)$非负，我们有
\[ \sigma \cdot mE[|f_n| \geq \sigma] \leq \int_{E[|f_n| \geq \sigma]} f_n \, dx. \]
这里$mE[|f_n| \geq \sigma]$表示集合$\{x \in E : |f_n(x)| \geq \sigma\}$的测度。
步骤 3：积分不等式
由于$f_{n}(x)$非负，我们进一步有
\[ \int_{E[|f_n| \geq \sigma]} f_n \, dx \leq \int_E f_n \, dx. \]
结合步骤2，我们得到
\[ \sigma \cdot mE[|f_n| \geq \sigma] \leq \int_E f_n \, dx. \]
步骤 4：极限分析
由题设$\lim_{n \to \infty} \int_E f_n \, dx = 0$，我们有
\[ \lim_{n \to \infty} mE[|f_n| \geq \sigma] \leq \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sigma} \int_E f_n \, dx = 0. \]
这意味着对于任意$\sigma > 0$，集合$\{x \in E : |f_n(x)| \geq \sigma\}$的测度趋于0。
步骤 5：依测度收敛
根据依测度收敛的定义，如果对于任意$\sigma > 0$，集合$\{x \in E : |f_n(x)| \geq \sigma\}$的测度趋于0，则$f_{n}$依测度收敛于0，即$f_{n}\Rightarrow 0$。