题目
设 A = PQ ，其中 P,;Q 是初等矩阵，则非齐次线性方程组 AX = b （ ）A. 无解B. 可能有解C. 有无穷多组解D. 有唯一解
设 $ A = PQ $，其中$ P,\;Q $ 是初等矩阵，则非齐次线性方程组$ AX = b $ （ ）
A. 无解
B. 可能有解
C. 有无穷多组解
D. 有唯一解
题目解答
答案
D. 有唯一解
解析
步骤 1：理解初等矩阵的性质
初等矩阵是通过执行基本行操作（如交换行、乘以非零常数、加减行）得到的单位矩阵。因此，初等矩阵是可逆的，且其行列式为非零值。
步骤 2：分析矩阵 $A$ 的性质
由于 $A = PQ$，其中 $P$ 和 $Q$ 是初等矩阵，那么 $A$ 也是可逆的。因为初等矩阵的乘积仍然是可逆的，且其行列式为非零值。
步骤 3：分析非齐次线性方程组 $AX = b$ 的解
由于 $A$ 是可逆的，那么非齐次线性方程组 $AX = b$ 有唯一解。这是因为可逆矩阵的行列式非零，意味着矩阵的秩等于未知数的个数，从而保证了方程组有唯一解。
初等矩阵是通过执行基本行操作（如交换行、乘以非零常数、加减行）得到的单位矩阵。因此，初等矩阵是可逆的，且其行列式为非零值。
步骤 2：分析矩阵 $A$ 的性质
由于 $A = PQ$，其中 $P$ 和 $Q$ 是初等矩阵，那么 $A$ 也是可逆的。因为初等矩阵的乘积仍然是可逆的，且其行列式为非零值。
步骤 3：分析非齐次线性方程组 $AX = b$ 的解
由于 $A$ 是可逆的，那么非齐次线性方程组 $AX = b$ 有唯一解。这是因为可逆矩阵的行列式非零，意味着矩阵的秩等于未知数的个数，从而保证了方程组有唯一解。