5.下列函数中，有界的是（）A. y=arctan xB. y=tan xC. y=(1)/(x)D. y=2^x

考查要点：本题主要考查函数有界性的判断，需要掌握常见基本函数的值域特点。

解题核心思路：
判断函数是否有界，关键看其值域是否被某个固定区间限制。若存在实数$M$，使得对所有$x$，$|y| \leq M$，则函数有界。

破题关键点：

• 选项A：$\arctan x$的值域为$\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$，绝对值恒小于$\frac{\pi}{2}$，故有界。
• 选项B：$\tan x$在定义域内值域为$\mathbb{R}$，无界。
• 选项C：$\frac{1}{x}$在$x$趋近于$0$时趋向无穷，无界。
• 选项D：$2^x$值域为$(0, +\infty)$，无上界，无界。

选项分析

选项A：$y = \arctan x$

• 值域：$\arctan x$的取值范围为$\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$。
• 有界性：对任意$x$，有$|y| < \frac{\pi}{2}$，因此存在界$M = \frac{\pi}{2}$，函数有界。

选项B：$y = \tan x$

• 值域：在定义域$\left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right)$内，$\tan x$的值域为$\mathbb{R}$。
• 有界性：当$x$趋近于$\pm\frac{\pi}{2} + k\pi$时，$y$趋向$\pm\infty$，无界。

选项C：$y = \frac{1}{x}$

• 值域：当$x \neq 0$时，$y$的取值范围为$\{ y \mid y \neq 0 \}$。
• 有界性：当$x$趋近于$0$时，$|y|$趋向$+\infty$，无界。

选项D：$y = 2^x$

• 值域：$2^x$的取值范围为$(0, +\infty)$。
• 有界性：当$x$趋向$+\infty$时，$y$趋向$+\infty$，无上界，无界。