4.已知alpha=(1,1,-1)^T,beta=(1,2,1)^T,A=alphabeta^T,f(x)=(x-1)^3,求f(A)

本题主要考察矩阵多项式的计算，核心思路是利用秩1矩阵的性质简化计算，具体步骤如下：

步骤1：计算矩阵$A=\alpha\beta^T$

已知$\alpha=(1,1,-1)^T$，$\beta=(1,2,1)^T$，则：
$A=\alpha\beta^T=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}(1,2,1)=\begin{pmatrix}1\times1&1\times2&1\times1\\1\times1&1\times2&1\times1\\-1\times1&-1\times2&-1\times1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&2&1\\-1&2&-1\end{pmatrix}\quad(\text{修正：原矩阵第三行应为}-1,-2,-1)$
即：
$A=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&2&1\\-1&-2&-1\end{pmatrix}$

步骤2：分析$A$的特征值与秩1矩阵性质

• 秩：$A$的行向量线性相关（三行成比例），故$\text{rank}(A)=1$。
• 迹：$\text{tr}(A)=1+2+(-1)=2$（迹等于特征值之和）。
• 特征值：秩1矩阵的非零特征值等于其迹，故特征值为$\lambda_1=2$（单重），$\lambda_2=\lambda_3=0$（二重）。

关键性质：对秩1矩阵$A=\alpha\beta^T$，有$A^k=(\beta^T\alpha)^{k-1}A$。计算$\beta^T\alpha$：
$\beta^T\alpha=(1,2,1)\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}=1\times1+2\times1+1\times(-1)=2$
故：
$A^2=(\beta^T\alpha)A=2A,\quad A^3=(\beta^T\alpha)^2A=4A$

步骤3：计算$f(A)=(A-I)^3$

展开多项式：
$(A-I)^3=A^3-3A^2+3A-I$
代入$A^2=2A$、$A^3=4A$：
$(A-I)^3=4A-3(2A)+3A-I=4A-6A+3A-I=A-I$

步骤4：计算$A-I$

$A-I=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&2&1\\-1&-2&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&1&1\\-1&-2&-2\end{pmatrix}$