双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的sqrt(2)倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（ ）A. ((x)^2)/(4)-((y)^2)/(4)=1B. ((y)^2)/(4)-((x)^2)/(4)=1C. ((y)^2)/(4)-((x)^2)/(8)=1D. ((x)^2)/(8)-((y)^2)/(4)=1

步骤 1：确定双曲线的类型和参数
由于顶点坐标为（0，2），说明双曲线的焦点在y轴上，因此双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$。顶点坐标（0，2）表明a=2。

步骤 2：利用已知条件建立方程
根据题意，实轴长与虚轴长之和等于焦距的$\sqrt{2}$倍，即$2a+2b=\sqrt{2}\cdot2c$。由于$a=2$，代入得$4+2b=2\sqrt{2}c$，即$2+b=\sqrt{2}c$。

步骤 3：利用双曲线的性质求解
双曲线的焦距$c$与$a$、$b$的关系为$c^2=a^2+b^2$。将$a=2$代入得$c^2=4+b^2$。结合步骤2中的方程$2+b=\sqrt{2}c$，可以解出$b$和$c$的值。

步骤 4：求解$b$和$c$
将$c^2=4+b^2$代入$2+b=\sqrt{2}c$，得$2+b=\sqrt{2}\sqrt{4+b^2}$。解这个方程，得$b=2$，从而$c=2\sqrt{2}$。

步骤 5：确定双曲线的标准方程
根据$a=2$，$b=2$，双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$。