3-6 试求下列连续时间LTI系统的零输入响应。(1)y''(t)+5y'(t)+4y(t)=2x'(t)+5x(t);y(0^-)=1,y'(0^-)=5;(2)y''(t)+4y'(t)+4y(t)=3x'(t)+2x(t);y(0^-)=-2,y'(0^-)=3;(3)y''(t)+4y'(t)+8y(t)=3x'(t)+x(t);y(0^-)=5,y'(0^-)=2;(4)y'''(t)+3y''(t)+2y'(t)=x'(t)+4x(t);y(0^-)=1,y'(0^-)=0,y''(0^-)=1

1. **特征方程**：$\lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0$，解得$\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = -4$。 **通解**：$y_n(t) = C_1e^{-t} + C_2e^{-4t}$。 **初始条件**：$C_1 + C_2 = 1$，$-C_1 - 4C_2 = 5$。 **解**：$C_1 = 3$，$C_2 = -2$。 **答案**：$3e^{-t} - 2e^{-4t}$，$t \geq 0^-$。 2. **特征方程**：$\lambda^2 + 4\lambda + 4 = 0$，解得$\lambda_1 = \lambda_2 = -2$。 **通解**：$y_n(t) = (C_1 + C_2t)e^{-2t}$。 **初始条件**：$C_1 = -2$，$-2C_1 + C_2 = 3$。 **解**：$C_1 = -2$，$C_2 = -1$。 **答案**：$-(2 + t)e^{-2t}$，$t \geq 0^-$。 3. **特征方程**：$\lambda^2 + 4\lambda + 8 = 0$，解得$\lambda = -2 \pm 2j$。 **通解**：$y_n(t) = e^{-2t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)$。 **初始条件**：$C_1 = 5$，$-2C_1 + 2C_2 = 2$。 **解**：$C_1 = 5$，$C_2 = 6$。 **答案**：$[5\cos 2t + 6\sin 2t]e^{-2t}$，$t \geq 0$。 4. **特征方程**：$\lambda^3 + 3\lambda^2 + 2\lambda = 0$，解得$\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = -1$，$\lambda_3 = -2$。 **通解**：$y_n(t) = C_1 + C_2e^{-t} + C_3e^{-2t}$。 **初始条件**：$C_1 + C_2 + C_3 = 1$，$-C_2 - 2C_3 = 0$，$C_2 + 4C_3 = 1$。 **解**：$C_1 = \frac{3}{2}$，$C_2 = -1$，$C_3 = \frac{1}{2}$。 **答案**：$\frac{3}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t}$，$t \geq 0^-$。 \[ \boxed{ \begin{array}{ll} 1. & 3e^{-t} - 2e^{-4t}, \quad t \geq 0^- \\ 2. & -(2 + t)e^{-2t}, \quad t \geq 0^- \\ 3. & [5\cos 2t + 6\sin 2t]e^{-2t}, \quad t \geq 0 \\ 4. & \frac{3}{2} - e^{-t} + \frac{1}{2}e^{-2t}, \quad t \geq 0^- \\ \end{array} } \]