题目
第一型曲线积分yds,其中L为直线段yds,其值
第一型曲线积分
,其中L为直线段
,其值
题目解答
答案
第一型曲线积分是指沿着一条曲线 ( L ) 对函数 ( f(x, y) ) 进行积分，其中积分的形式为
，这里的 ( ds ) 是曲线上的微小弧长元素。
对于给定的直线段 ( L ) :
，我们可以表示曲线上的每一点为参数方程形式：
[ 
) ]
其中 ( y ) 从 0 到 2。
在这种情况下，直线段上的微小弧长元素 ( ds ) 可以表示为：
由于 ( x = 0 )，所以 ( dx = 0 )，因此：
积分的形式变为：
然后计算这个定积分：
因此，这个曲线积分的值为：
2
解析
步骤 1：确定曲线的参数方程
给定的直线段为$z=0,0\leqslant y\leqslant 2$，可以表示为参数方程$(x,y)=(0,y)$，其中$y$从0到2。
步骤 2：计算微小弧长元素$ds$
由于$x=0$，所以$dx=0$，因此微小弧长元素$ds$可以表示为$ds=\sqrt{{(dx)}^{2}+{(dy)}^{2}}=\sqrt{{0}^{2}+{(dy)}^{2}}=|dy|=dy$。
步骤 3：计算曲线积分
将$ds=dy$代入曲线积分${\int }_{L}^{1}yds$，得到${\int }_{0}^{2}ydy$。计算这个定积分，得到${\int }_{0}^{2}ydy={[ \dfrac {{y}^{2}}{2}] }_{0}^{2}=\dfrac {{2}^{2}}{2}-\dfrac {{0}^{2}}{2}=2$。
给定的直线段为$z=0,0\leqslant y\leqslant 2$，可以表示为参数方程$(x,y)=(0,y)$，其中$y$从0到2。
步骤 2：计算微小弧长元素$ds$
由于$x=0$，所以$dx=0$，因此微小弧长元素$ds$可以表示为$ds=\sqrt{{(dx)}^{2}+{(dy)}^{2}}=\sqrt{{0}^{2}+{(dy)}^{2}}=|dy|=dy$。
步骤 3：计算曲线积分
将$ds=dy$代入曲线积分${\int }_{L}^{1}yds$，得到${\int }_{0}^{2}ydy$。计算这个定积分，得到${\int }_{0}^{2}ydy={[ \dfrac {{y}^{2}}{2}] }_{0}^{2}=\dfrac {{2}^{2}}{2}-\dfrac {{0}^{2}}{2}=2$。