已知离散型随机变量 X 的分布律为 PX=k=3alpha^k(k=1,2,...)，则常数 alpha=()。A. (1)/(6)；B. (1)/(8)；C. (1)/(3)；D. (1)/(4).

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的基本性质及无穷等比级数求和的应用。

解题核心思路：
根据概率分布的归一性（所有概率之和为1），将题目中的分布律表达式代入求和，转化为等比级数求和问题，进而解方程求出常数$\alpha$的值。

破题关键点：

1. 归一性条件：$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = 1$。
2. 等比级数求和公式：$\sum_{k=1}^{\infty} \alpha^k = \frac{\alpha}{1-\alpha}$（当$|\alpha| < 1$时成立）。
3. 方程求解：通过代数变形解出$\alpha$的值。

根据离散型随机变量分布律的归一性条件，有：
$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} 3\alpha^k = 1.$

步骤1：提取常数项
将常数$3$提取到求和符号外：
$3 \sum_{k=1}^{\infty} \alpha^k = 1.$

步骤2：应用等比级数求和公式
等比级数$\sum_{k=1}^{\infty} \alpha^k$的首项为$\alpha$，公比为$\alpha$，其和为：
$\sum_{k=1}^{\infty} \alpha^k = \frac{\alpha}{1-\alpha} \quad (|\alpha| < 1).$

步骤3：代入并解方程
将级数和代入原式：
$3 \cdot \frac{\alpha}{1-\alpha} = 1 \implies \frac{\alpha}{1-\alpha} = \frac{1}{3}.$

步骤4：解关于$\alpha$的方程
交叉相乘得：
$3\alpha = 1 - \alpha \implies 4\alpha = 1 \implies \alpha = \frac{1}{4}.$