证明方程x=asinx+b, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 并且它不超过a+b.

考查要点：本题主要考查利用连续函数的零点定理证明方程根的存在性问题，需要结合三角函数的有界性进行分析。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将方程变形为$f(x) = a \sin x + b - x$，将证明根的存在性转化为证明$f(x)=0$有解。
2. 分析端点函数值：计算$f(0)$和$f(a+b)$的值，利用$\sin x$的有界性（$\sin x \leq 1$）判断符号。
3. 应用零点定理：若端点函数值异号或为零，则在区间内存在零点，即方程有解。

破题关键点：

• 选择区间$[0, a+b]$：确保根不超过$a+b$，同时利用$a>0$和$b>0$简化分析。
• 利用$\sin x \leq 1$：直接得出$f(a+b) \leq 0$，无需具体计算$\sin(a+b)$的值。

步骤1：构造辅助函数
定义函数$f(x) = a \sin x + b - x$，其中$a>0$，$b>0$。
由于$\sin x$和线性函数$x$均为连续函数，故$f(x)$在区间$[0, a+b]$上连续。

步骤2：计算端点函数值

• 当$x=0$时：
  $f(0) = a \sin 0 + b - 0 = 0 + b = b > 0.$
• 当$x=a+b$时：
  $f(a+b) = a \sin(a+b) + b - (a+b) = a \left[ \sin(a+b) - 1 \right].$
  由于$\sin(a+b) \leq 1$，故$\sin(a+b) - 1 \leq 0$，因此：
  $f(a+b) \leq 0.$

步骤3：应用零点定理

• 情况1：若$f(a+b) = 0$，则$x = a+b$是方程的根，且不超过$a+b$。
• 情况2：若$f(a+b) < 0$，则$f(0) > 0$且$f(a+b) < 0$，根据零点定理，存在$\xi \in (0, a+b)$，使得$f(\xi) = 0$，即$\xi$是方程的根且$\xi < a+b$。

结论：无论哪种情况，方程$x = a \sin x + b$至少有一个正根，且不超过$a+b$。