试证：在将z平面适当割开后，函数 f(z)=sqrt [3]((1-z){z)^2} 能分出三个单值解析分支．并求出在点z=2取负值的那个分支在z=i的值．

考查要点：本题主要考查复变函数中多值函数的分支切割、单值解析分支的构造，以及特定分支在指定点的值的计算。

解题核心思路：

1. 确定支点：函数$f(z)=\sqrt[3]{(1-z)z^2}$的支点由被开根号表达式$(1-z)z^2$的零点和无穷点决定，即$z=0$和$z=1$。
2. 分支切割：沿线段$[0,1]$割开复平面，使得变点$z$无法绕支点单独旋转一周，从而构造单值解析分支。
3. 分支数目：三次根号函数有$3$个分支，对应不同的幅角选择。
4. 特定分支的确定：通过$z=2$处取负值的条件，确定对应分支的幅角参数，进而计算该分支在$z=i$处的值。

破题关键点：

• 支点与分支切割：正确识别支点并选择合理的切割路径。
• 分支参数的选择：通过$z=2$处的幅角条件确定分支序号$k$。
• 复数根的计算：结合极坐标形式计算三次根号的模和幅角。

1. 分析支点与分支切割

函数$f(z)=\sqrt[3]{(1-z)z^2}$的被开根号部分$(1-z)z^2$在$z=0$和$z=1$处为零，因此支点为$z=0$和$z=1$。
沿线段$[0,1]$割开复平面后，变点$z$无法绕$0$或$1$单独旋转一周，从而消除多值性。此时，函数在割破平面上可分出3个单值解析分支。

2. 确定$z=2$处取负值的分支

当$z=2$时，$(1-z)z^2 = -4$，其幅角为$\pi$。三次根号的三个分支对应幅角为：
$\text{arg}\,f_k(z) = \frac{\pi + 2k\pi}{3}, \quad k=0,1,2.$
要求$f_k(2)$取负值，需满足$\text{arg}\,f_k(2) = \pi$，解得$k=1$（此时幅角为$\pi$）。因此，目标分支为$k=1$。

3. 计算$z=i$处的值

当$z=i$时，计算$(1-i)i^2$：
$(1-i)i^2 = (1-i)(-1) = -1 + i.$
其极坐标形式为：

• 模：$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$，
• 幅角：$\theta = \frac{3\pi}{4}$（第二象限）。

三次根号的模为$r^{1/3} = (\sqrt{2})^{1/3} = 2^{1/6}$，幅角为：
$\frac{\theta + 2\pi k}{3} = \frac{3\pi/4 + 2\pi \cdot 1}{3} = \frac{11\pi}{12}.$
因此，分支$f_1(i)$的值为：
$f_1(i) = 2^{1/6} \left[ \cos\left(\frac{11\pi}{12}\right) + i \sin\left(\frac{11\pi}{12}\right) \right].$