题目
(5) ((e)^x+y-(e)^x)dx+((e)^x+y+(e)^y)dy=0 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
首先，我们观察到方程可以写成：
\[({e}^{x+y}-{e}^{x})dx+({e}^{x+y}+{e}^{y})dy=0\]
可以将方程重写为：
\[({e}^{x+y}-{e}^{x})dx=-({e}^{x+y}+{e}^{y})dy\]
步骤 2：简化方程
将方程两边同时除以${e}^{x+y}$，得到：
\[\left(1-\frac{{e}^{x}}{{e}^{x+y}}\right)dx=-\left(1+\frac{{e}^{y}}{{e}^{x+y}}\right)dy\]
简化得到：
\[\left(1-{e}^{-y}\right)dx=-\left(1+{e}^{-x}\right)dy\]
步骤 3：积分
对两边分别积分，得到：
\[\int \left(1-{e}^{-y}\right)dx=-\int \left(1+{e}^{-x}\right)dy\]
左边积分得到：
\[x-{e}^{-y}x+C_1\]
右边积分得到：
\[-y-{e}^{-x}y+C_2\]
步骤 4：整理方程
将两边合并，得到：
\[x-{e}^{-y}x=-y-{e}^{-x}y+C\]
整理得到：
\[({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)=C\]
首先，我们观察到方程可以写成：
\[({e}^{x+y}-{e}^{x})dx+({e}^{x+y}+{e}^{y})dy=0\]
可以将方程重写为：
\[({e}^{x+y}-{e}^{x})dx=-({e}^{x+y}+{e}^{y})dy\]
步骤 2：简化方程
将方程两边同时除以${e}^{x+y}$，得到：
\[\left(1-\frac{{e}^{x}}{{e}^{x+y}}\right)dx=-\left(1+\frac{{e}^{y}}{{e}^{x+y}}\right)dy\]
简化得到：
\[\left(1-{e}^{-y}\right)dx=-\left(1+{e}^{-x}\right)dy\]
步骤 3：积分
对两边分别积分，得到：
\[\int \left(1-{e}^{-y}\right)dx=-\int \left(1+{e}^{-x}\right)dy\]
左边积分得到：
\[x-{e}^{-y}x+C_1\]
右边积分得到：
\[-y-{e}^{-x}y+C_2\]
步骤 4：整理方程
将两边合并，得到：
\[x-{e}^{-y}x=-y-{e}^{-x}y+C\]
整理得到：
\[({e}^{x}+1)({e}^{y}-1)=C\]