设随机变量Xsim Exp(2)，Ysim B(1,0.2)，且它们的相关系数rho(X,Y)=0.6，则E(2X-Y+1)^2=____.(请用小数作答)
设随机变量$X\sim Exp(2)$，$Y\sim B(1,0.2)$，且它们的相关系数$\rho(X,Y)=0.6$，则$E(2X-Y+1)^2=$____.(请用小数作答)
题目解答
答案
设 $X \sim \text{Exp}(2)$，则 $E(X) = \frac{1}{2}$，$\text{Var}(X) = \frac{1}{4}$。
设 $Y \sim B(1, 0.2)$，则 $E(Y) = 0.2$，$\text{Var}(Y) = 0.16$。
由相关系数 $\rho(X, Y) = 0.6$，得 $\text{Cov}(X, Y) = \rho \sigma_X \sigma_Y = 0.6 \times \frac{1}{2} \times 0.4 = 0.12$。
计算 $E[(2X - Y + 1)^2]$：
$E[(2X - Y + 1)^2] = E[4X^2 - 4XY + 4X + Y^2 - 2Y + 1]$
其中，
$E(4X^2) = 4E(X^2) = 4 \left(\text{Var}(X) + [E(X)]^2\right) = 4 \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) = 2$
$E(4X) = 4E(X) = 2$
$E(Y^2) = \text{Var}(Y) + [E(Y)]^2 = 0.16 + 0.04 = 0.2$
$E(2Y) = 2E(Y) = 0.4$
$E(4XY) = 4E(XY) = 4\left(\text{Cov}(X, Y) + E(X)E(Y)\right) = 4(0.12 + 0.1) = 0.88$
代入得：
$E[(2X - Y + 1)^2] = 2 - 0.88 + 2 + 0.2 - 0.4 + 1 = 3.92$
答案： $\boxed{3.92}$