已知y(x)是微分方程2y'sqrt(x)=y满足y(4)=1的特解，则y(16)=（ ）。A. 1B. e^2C. eD. 0
已知$y(x)$是微分方程$2y'\sqrt{x}=y$满足$y(4)=1$的特解，则$y(16)=$（ ）。 A. 1 B. $e^2$ C. $e$ D. 0
题目解答
答案
我们来一步一步解这个微分方程问题。
题目：
已知 $ y(x) $ 是微分方程
$2y'\sqrt{x} = y$
满足初始条件 $ y(4) = 1 $ 的特解，求 $ y(16) = ? $
选项为：
A. 1
B. $ e^2 $
C. $ e $
D. 0
第一步：写出微分方程
原方程：
$2y'\sqrt{x} = y$
其中 $ y' = \frac{dy}{dx} $，我们可以将方程改写为：
$2\frac{dy}{dx} \sqrt{x} = y$
第二步：分离变量
我们将所有含 $ y $ 的项移到一边，含 $ x $ 的项移到另一边。
从：
$2\frac{dy}{dx} \sqrt{x} = y$
两边同时除以 $ y $（假设 $ y \ne 0 $，后面验证）并乘以 $ dx $：
$2\frac{1}{y} dy = \frac{1}{\sqrt{x}} dx$
第三步：两边积分
对两边积分：
$\int 2\frac{1}{y} dy = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$
左边：
$2\ln|y| + C_1$
右边：
$\int x^{-1/2} dx = 2x^{1/2} + C_2$
所以：
$2\ln|y| = 2\sqrt{x} + C$
（合并常数项，令 $ C = C_2 - C_1 $）
两边除以 2：
$\ln|y| = \sqrt{x} + C'$
（令 $ C' = C/2 $，仍为常数）
取指数：
$|y| = e^{\sqrt{x} + C'} = e^{C'} \cdot e^{\sqrt{x}} = C'' e^{\sqrt{x}}$
其中 $ C'' = e^{C'} > 0 $
去掉绝对值（允许常数正负）：
$y(x) = C e^{\sqrt{x}}$
其中 $ C $ 为任意常数（可正可负，也可为0，注意我们之前除以了 $ y $，所以 $ y=0 $ 是一个可能的解，但初始条件 $ y(4)=1 \ne 0 $，所以不考虑零解）
第四步：代入初始条件求常数
已知 $ y(4) = 1 $
代入：
$y(4) = C e^{\sqrt{4}} = C e^{2} = 1$
解得：
$C = e^{-2}$
所以特解为：
$y(x) = e^{-2} \cdot e^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x} - 2}$
第五步：求 $ y(16) $
$y(16) = e^{\sqrt{16} - 2} = e^{4 - 2} = e^2$
答案：
$\boxed{B. \ e^2}$
✅ 最终答案：B. $ e^2 $
解析
本题考查可分离变量的微分方程的求解，解题思路是先将给定的微分方程进行分离变量，然后两边积分求出通解，再利用给定的初始条件确定通解中的常数，得到特解，最后将$x = 16$代入特解求出$y(16)$的值。
- 分离变量：
已知微分方程$2y'\sqrt{x}=y$，因为$y' = \frac{dy}{dx}$，所以原方程可化为$2\frac{dy}{dx}\sqrt{x}=y$。
将含$y$的项移到一边，含$x$的项移到另一边，两边同时除以$y$（$y\neq0$，后续验证$y = 0$不满足初始条件）并乘以$dx$，得到$2\frac{1}{y}dy=\frac{1}{\sqrt{x}}dx$。 - 两边积分：
对$2\frac{1}{y}dy=\frac{1}{\sqrt{x}}dx$两边分别积分。- 左边积分：$\int 2\frac{1}{y}dy = 2\int\frac{1}{y}dy = 2\ln|y| + C_1$。
- 右边积分：$\int\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\int x^{-\frac{1}{2}}dx$，根据幂函数积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int x^{-\frac{1}{2}}dx = 2x^{\frac{1}{2}} + C_2 = 2\sqrt{x} + C_2$。
所以$2\ln|y| = 2\sqrt{x} + C$（$C = C_2 - C_1$为常数）。
两边同时除以$2$，得到$\ln|y| = \sqrt{x} + C'$（$C' = \frac{C}{2}$为常数）。
- 求解通解：
对$\ln|y| = \sqrt{x} + C'$两边取指数，可得$|y| = e^{\sqrt{x} + C'}=e^{C'}\cdot e^{\sqrt{x}}$，令$C'' = e^{C'}\gt0$，则$|y| = C''e^{\sqrt{x}}$。
去掉绝对值符号，得到通解$y(x) = Ce^{\sqrt{x}}$（$C$为任意常数，因为$y = 0$不满足初始条件$y(4)=1$，所以不考虑$y = 0$的情况）。 - 确定特解：
已知$y(4) = 1$，将$x = 4$，$y = 1$代入通解$y(x) = Ce^{\sqrt{x}}$中，得到$y(4) = Ce^{\sqrt{4}} = Ce^2 = 1$，解得$C = e^{-2}$。
所以特解为$y(x) = e^{-2}e^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x} - 2}$。 - 计算$y(16)$：
将$x = 16$代入特解$y(x) = e^{\sqrt{x} - 2}$中，可得$y(16) = e^{\sqrt{16} - 2}=e^{4 - 2}=e^2$。