甲、乙两个盒子里各装有10只螺钉，每个盒子的螺钉中各有一只是次品，其余均为正品。现从甲盒中任取两只螺钉放入乙盒中，再从乙盒中取出两只。问从乙盒中取出的恰好是一只正品，一只次品的概率是多少?.

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，涉及分步计数原理和组合数计算。关键在于分情况讨论甲盒放入乙盒的螺钉组成，再结合每种情况下的概率进行综合计算。

解题思路：

1. 分类讨论：根据甲盒取出的螺钉组成（两正品或一正一次），确定乙盒中次品数量的变化。
2. 分步计算：分别计算每种情况下从乙盒取出一正一次的概率，最后按甲盒取法的概率加权求和。

破题关键：

• 甲盒取法的分类：明确甲盒取出两正品或一正一次的概率。
• 乙盒状态的更新：根据甲盒放入的螺钉，动态调整乙盒的正品和次品数量。
• 组合数的准确计算：注意每一步组合数的分子和分母是否对应正确的情况。

步骤1：计算甲盒取出两螺钉的可能情况

1. 两正品：
   组合数为 $C_9^2$，总组合数为 $C_{10}^2$，概率为：
   $P_1 = \frac{C_9^2}{C_{10}^2} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5}.$

2. 一正一次：
   组合数为 $C_9^1 \cdot C_1^1$，总组合数为 $C_{10}^2$，概率为：
   $P_2 = \frac{C_9^1 \cdot C_1^1}{C_{10}^2} = \frac{9}{45} = \frac{1}{5}.$

步骤2：分析乙盒状态并计算目标概率

1. 甲盒放入两正品：

   • 乙盒次品数仍为1，正品数变为 $9 + 2 = 11$。
   • 从乙盒取一正一次的概率为：
     $\frac{C_{11}^1 \cdot C_1^1}{C_{12}^2} = \frac{11}{66} = \frac{1}{6}.$

2. 甲盒放入一正一次：

   • 乙盒次品数变为 $1 + 1 = 2$，正品数变为 $9 + 1 = 10$。
   • 从乙盒取一正一次的概率为：
     $\frac{C_{10}^1 \cdot C_2^1}{C_{12}^2} = \frac{20}{66} = \frac{10}{33}.$

步骤3：综合计算总概率

将两种情况的概率加权求和：
$P = P_1 \cdot \frac{1}{6} + P_2 \cdot \frac{10}{33} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{5} \cdot \frac{10}{33} = \frac{4}{30} + \frac{10}{165} = \frac{32}{165}.$