射击比赛，每人射四次（每次一发），约定全部不中得0分，只中一弹的得20分，中两弹得40分，中三弹得70分，中四弹得100分．某人每次射击的命中率均为(3)/(5)．求他得分的数学期望为（ ）A. 54.02B. 54.03C. 54.04D. 54.05

考查要点：本题主要考查二项分布的数学期望计算，结合具体得分规则，通过计算各命中次数对应的概率，再求加权平均值。

解题核心思路：

1. 确定命中次数的分布：四次独立射击，每次命中概率为$\frac{3}{5}$，命中次数服从二项分布$B(4, \frac{3}{5})$。
2. 计算各命中次数的概率：利用二项分布公式$P(k) = C(4,k) \left(\frac{3}{5}\right)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{4-k}$。
3. 匹配得分规则：根据命中次数$k$对应的得分，计算各得分与概率的乘积，最后求和得到期望。

破题关键点：

• 正确应用二项分布公式，避免组合数或概率计算错误。
• 注意得分与命中次数的对应关系，避免混淆得分值。

步骤1：计算各命中次数的概率

命中次数$k$的概率为：
$P(k) = C(4,k) \left(\frac{3}{5}\right)^k \left(\frac{2}{5}\right)^{4-k}$

• $k=0$：$P(0) = C(4,0) \left(\frac{3}{5}\right)^0 \left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625}$
• $k=1$：$P(1) = C(4,1) \left(\frac{3}{5}\right)^1 \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{96}{625}$
• $k=2$：$P(2) = C(4,2) \left(\frac{3}{5}\right)^2 \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{216}{625}$
• $k=3$：$P(3) = C(4,3) \left(\frac{3}{5}\right)^3 \left(\frac{2}{5}\right)^1 = \frac{216}{625}$
• $k=4$：$P(4) = C(4,4) \left(\frac{3}{5}\right)^4 = \frac{81}{625}$

步骤2：计算各得分与概率的乘积

根据得分规则：

• $k=0$：$0 \times \frac{16}{625} = 0$
• $k=1$：$20 \times \frac{96}{625} = \frac{1920}{625}$
• $k=2$：$40 \times \frac{216}{625} = \frac{8640}{625}$
• $k=3$：$70 \times \frac{216}{625} = \frac{15120}{625}$
• $k=4$：$100 \times \frac{81}{625} = \frac{8100}{625}$

步骤3：求和得到数学期望

$E = \frac{1920 + 8640 + 15120 + 8100}{625} = \frac{33780}{625} = 54.048$

四舍五入保留两位小数，结果为$54.05$。