设A是n阶矩阵,满足 ((A-E))^3=((A+E))^3,则 ((A-E))^3=((A+E))^3_____.

步骤 1：展开等式
给定条件是 $(A-E)^{3}=(A+E)^{3}$。我们首先展开这两个立方项。
步骤 2：利用立方公式
利用立方公式 $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ 和 $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$，我们得到：
$(A-E)^{3} = A^3 - 3A^2E + 3AE^2 - E^3$
$(A+E)^{3} = A^3 + 3A^2E + 3AE^2 + E^3$
步骤 3：简化等式
由于 $E^3 = E$（因为 $E$ 是单位矩阵），我们可以简化等式为：
$A^3 - 3A^2E + 3AE - E = A^3 + 3A^2E + 3AE + E$
步骤 4：求解A
通过移项和合并同类项，我们得到：
$-6A^2E - 2E = 0$
$-6A^2 - 2E = 0$
$A^2 = -\frac{1}{3}E$
步骤 5：求解$(A-2E)^{-1}$
由于 $A^2 = -\frac{1}{3}E$，我们可以求解 $(A-2E)^{-1}$。首先，我们注意到 $A^2 + \frac{1}{3}E = 0$，即 $A^2 = -\frac{1}{3}E$。然后，我们利用这个关系来求解 $(A-2E)^{-1}$。
步骤 6：利用矩阵逆的性质
我们利用矩阵逆的性质来求解 $(A-2E)^{-1}$。首先，我们注意到 $A^2 = -\frac{1}{3}E$，然后我们利用这个关系来求解 $(A-2E)^{-1}$。
步骤 7：计算$(A-2E)^{-1}$
通过代数操作，我们得到 $(A-2E)^{-1} = -\frac{3A+6E}{13}$。