已知各项都为正数的数列(an)满足an+2=2an+1+3an．（1）证明：数列(an+an+1)为等比数列；（2）若a1=(1)/(2)，a2=(3)/(2)，求(an)的通项公式．

考查要点：本题主要考查递推数列的构造与求解，涉及等比数列的证明及通项公式的求解方法。

解题核心思路：

1. 第一问：通过递推关系式，构造相邻两项的和，发现其等比特性。关键在于将原递推式变形，找到相邻两项和之间的倍数关系。
2. 第二问：利用第一问的结论，结合初始条件，通过构造特解或递推关系求解通项公式。关键在于将非齐次递推式转化为等比数列形式。

破题关键点：

• 第一问：将原递推式代入相邻两项和，直接推导出公比为3。
• 第二问：通过构造新数列或利用特征方程法，结合初始条件确定通项。

第（1）题

目标：证明数列$\{a_n + a_{n+1}\}$是公比为3的等比数列。

递推式变形

已知递推式：
$a_{n+2} = 2a_{n+1} + 3a_n$
将两边同时加上$a_{n+1}$：
$a_{n+1} + a_{n+2} = a_{n+1} + (2a_{n+1} + 3a_n) = 3a_{n+1} + 3a_n = 3(a_{n+1} + a_n)$

结论

上式表明：
$a_{n+1} + a_{n+2} = 3(a_n + a_{n+1})$
因此，数列$\{a_n + a_{n+1}\}$是公比为3的等比数列。

第（2）题

目标：求通项公式$a_n$。

初始条件

已知$a_1 = \frac{1}{2}$，$a_2 = \frac{3}{2}$，则首项为：
$a_1 + a_2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$

等比数列通项

由第（1）问结论，数列$\{a_n + a_{n+1}\}$的通项为：
$a_n + a_{n+1} = 2 \cdot 3^{n-1}$

构造新数列

令$b_n = a_n - \frac{3^{n-1}}{2}$，代入上式：
$\left(b_n + \frac{3^{n-1}}{2}\right) + \left(b_{n+1} + \frac{3^n}{2}\right) = 2 \cdot 3^{n-1}$
化简得：
$b_n + b_{n+1} + \frac{3^{n-1}}{2} + \frac{3^n}{2} = 2 \cdot 3^{n-1}$
进一步化简后可得：
$b_{n+1} = -b_n$
即$\{b_n\}$是公比为$-1$的等比数列。

求解$b_n$

由$b_1 = a_1 - \frac{3^{0}}{2} = 0$，得$b_n = 0$，故：
$a_n = \frac{3^{n-1}}{2}$