题目
22.设等差数列(a,)中, _(1)=3, _(3)=7, 各项均为正数的数列(bn)的前n项为Sn,已知点22.设等差数列(a,)中, _(1)=3, _(3)=7, 各项均为正数的数列(bn)的前n项为Sn,已知点
题目解答
答案
解析
步骤 1：求等差数列{an}的通项公式
已知等差数列{an}中，${a}_{1}=3$，${a}_{3}=7$。等差数列的通项公式为${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)d$，其中d为公差。根据已知条件，可以求出公差d。
步骤 2：求公差d
由${a}_{3}={a}_{1}+2d$，代入${a}_{1}=3$和${a}_{3}=7$，得到$7=3+2d$，解得$d=2$。
步骤 3：求等差数列{an}的通项公式
将$d=2$代入通项公式${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)d$，得到${a}_{n}=3+(n-1)\times2=2n+1$。
步骤 4：求数列{bn}的通项公式
已知点$({b}_{n},{b}_{n+1})$在函数$y=3x-4$的图像上，且${b}_{1}=5$。根据函数关系，可以得到${b}_{n+1}=3{b}_{n}-4$。构造数列$\{ {b}_{n}-2\}$，得到${b}_{n+1}-2=3({b}_{n}-2)$，即$\dfrac{{b}_{n+1}-2}{{b}_{n}-2}=3$。因此，数列$\{ {b}_{n}-2\}$为等比数列，首项为${b}_{1}-2=3$，公比为3。由此可以求出${b}_{n}$的通项公式。
步骤 5：求数列{bn}的通项公式
由${b}_{n}-2=3\times{3}^{n-1}={3}^{n}$，得到${b}_{n}={3}^{n}+2$。
步骤 6：求数列{cn}的通项公式
已知${c}_{n}=\dfrac{{a}_{n}}{{b}_{n}-2}$，代入${a}_{n}=2n+1$和${b}_{n}={3}^{n}+2$，得到${c}_{n}=\dfrac{2n+1}{{3}^{n}}=(2n+1)\cdot{(\dfrac{1}{3})}^{n}$。
步骤 7：求数列{cn}的前n项和Tn
由${c}_{n}=(2n+1)\cdot{(\dfrac{1}{3})}^{n}$，可以使用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn。
步骤 8：求数列{cn}的前n项和Tn
设${T}_{n}=3\times{(\dfrac{1}{3})}^{1}+5\times{(\dfrac{1}{3})}^{2}+\cdots+(2n+1)\times{(\dfrac{1}{3})}^{n}$，则$\dfrac{1}{3}{T}_{n}=3\times{(\dfrac{1}{3})}^{2}+5\times{(\dfrac{1}{3})}^{3}+\cdots+(2n+1)\times{(\dfrac{1}{3})}^{n+1}$。将这两个式子相减，得到$\dfrac{2}{3}{T}_{n}=\dfrac{4}{3}-(2n+4)\times{(\dfrac{1}{3})}^{n+1}$，从而求出${T}_{n}=2-(n+2)\cdot{(\dfrac{1}{3})}^{n}$。
已知等差数列{an}中，${a}_{1}=3$，${a}_{3}=7$。等差数列的通项公式为${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)d$，其中d为公差。根据已知条件，可以求出公差d。
步骤 2：求公差d
由${a}_{3}={a}_{1}+2d$，代入${a}_{1}=3$和${a}_{3}=7$，得到$7=3+2d$，解得$d=2$。
步骤 3：求等差数列{an}的通项公式
将$d=2$代入通项公式${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)d$，得到${a}_{n}=3+(n-1)\times2=2n+1$。
步骤 4：求数列{bn}的通项公式
已知点$({b}_{n},{b}_{n+1})$在函数$y=3x-4$的图像上，且${b}_{1}=5$。根据函数关系，可以得到${b}_{n+1}=3{b}_{n}-4$。构造数列$\{ {b}_{n}-2\}$，得到${b}_{n+1}-2=3({b}_{n}-2)$，即$\dfrac{{b}_{n+1}-2}{{b}_{n}-2}=3$。因此，数列$\{ {b}_{n}-2\}$为等比数列，首项为${b}_{1}-2=3$，公比为3。由此可以求出${b}_{n}$的通项公式。
步骤 5：求数列{bn}的通项公式
由${b}_{n}-2=3\times{3}^{n-1}={3}^{n}$，得到${b}_{n}={3}^{n}+2$。
步骤 6：求数列{cn}的通项公式
已知${c}_{n}=\dfrac{{a}_{n}}{{b}_{n}-2}$，代入${a}_{n}=2n+1$和${b}_{n}={3}^{n}+2$，得到${c}_{n}=\dfrac{2n+1}{{3}^{n}}=(2n+1)\cdot{(\dfrac{1}{3})}^{n}$。
步骤 7：求数列{cn}的前n项和Tn
由${c}_{n}=(2n+1)\cdot{(\dfrac{1}{3})}^{n}$，可以使用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn。
步骤 8：求数列{cn}的前n项和Tn
设${T}_{n}=3\times{(\dfrac{1}{3})}^{1}+5\times{(\dfrac{1}{3})}^{2}+\cdots+(2n+1)\times{(\dfrac{1}{3})}^{n}$，则$\dfrac{1}{3}{T}_{n}=3\times{(\dfrac{1}{3})}^{2}+5\times{(\dfrac{1}{3})}^{3}+\cdots+(2n+1)\times{(\dfrac{1}{3})}^{n+1}$。将这两个式子相减，得到$\dfrac{2}{3}{T}_{n}=\dfrac{4}{3}-(2n+4)\times{(\dfrac{1}{3})}^{n+1}$，从而求出${T}_{n}=2-(n+2)\cdot{(\dfrac{1}{3})}^{n}$。