f(t) = u(t) - u(t - 1)的拉普拉斯变换为()

考查要点：本题主要考查单位阶跃函数的拉普拉斯变换及其线性性质的应用。

解题核心思路：

1. 识别函数结构：函数$f(t) = u(t) - u(t-1)$表示一个在区间$[0,1)$内取值为1、其余时间取值为0的矩形脉冲信号。
2. 利用已知变换：直接应用单位阶跃函数$u(t)$和$u(t-a)$的拉普拉斯变换公式，结合线性性质（即变换的叠加性）求解。
3. 简化计算：通过代数运算直接相减两个已知变换结果，避免直接积分。

破题关键点：

• 明确单位阶跃函数的拉普拉斯变换公式：$u(t) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{1}{s}$，$u(t-a) \xrightarrow{\mathcal{L}} \frac{e^{-as}}{s}$。
• 正确应用线性性质：拉普拉斯变换对加减运算保持线性关系。

步骤1：分解函数结构
函数$f(t) = u(t) - u(t-1)$可视为两个单位阶跃函数的差值：

• $u(t)$在$t \geq 0$时为1，$t < 0$时为0。
• $u(t-1)$在$t \geq 1$时为1，$t < 1$时为0。
  因此，$f(t)$在区间$[0,1)$内为1，其余时间均为0。

步骤2：应用拉普拉斯变换公式
根据拉普拉斯变换的线性性质：
$\mathcal{L}\{f(t)\} = \mathcal{L}\{u(t)\} - \mathcal{L}\{u(t-1)\}$
代入已知公式：

• $\mathcal{L}\{u(t)\} = \frac{1}{s}$
• $\mathcal{L}\{u(t-1)\} = \frac{e^{-s}}{s}$

步骤3：合并结果
将两部分相减：
$\mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s} - \frac{e^{-s}}{s} = \frac{1 - e^{-s}}{s}$