题目
14.将n个球放入M个盒子中去，设每个球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望。
14.将n个球放入M个盒子中去，设每个球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望。
题目解答
答案
引入随机变量
，有：
则
,又
故
所以
即有球盒子数X的数学期望为
解析
步骤 1：定义随机变量
定义随机变量${X}_{i}$，表示第i个盒子是否有球，其中${X}_{i}=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\\ 0,\end{matrix} \right.$ i=1,2,...,M。当第i个盒子有球时，${X}_{i}=1$；当第i个盒子没有球时，${X}_{i}=0$。
步骤 2：计算单个盒子有球的概率
每个球落入各个盒子是等可能的，因此每个球落入第i个盒子的概率为$\dfrac {1}{M}$。因此，第i个盒子没有球的概率为$(1-\dfrac {1}{M})$。由于有n个球，所以第i个盒子没有球的概率为${(1-\dfrac {1}{M})}^{n}$。因此，第i个盒子有球的概率为$1-{(1-\dfrac {1}{M})}^{n}$。
步骤 3：计算有球的盒子数X的数学期望
有球的盒子数X为所有盒子有球的随机变量之和，即$X={X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{M}$。根据期望的线性性质，有$E(X)=E({X}_{1})+E({X}_{2})+\cdots +E({X}_{M})$。由于每个盒子有球的概率相同，所以$E({X}_{i})=1-{(1-\dfrac {1}{M})}^{n}$。因此，$E(X)=M[ 1-{(1-\dfrac {1}{M})}^{n}] $。
定义随机变量${X}_{i}$，表示第i个盒子是否有球，其中${X}_{i}=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\\ 0,\end{matrix} \right.$ i=1,2,...,M。当第i个盒子有球时，${X}_{i}=1$；当第i个盒子没有球时，${X}_{i}=0$。
步骤 2：计算单个盒子有球的概率
每个球落入各个盒子是等可能的，因此每个球落入第i个盒子的概率为$\dfrac {1}{M}$。因此，第i个盒子没有球的概率为$(1-\dfrac {1}{M})$。由于有n个球，所以第i个盒子没有球的概率为${(1-\dfrac {1}{M})}^{n}$。因此，第i个盒子有球的概率为$1-{(1-\dfrac {1}{M})}^{n}$。
步骤 3：计算有球的盒子数X的数学期望
有球的盒子数X为所有盒子有球的随机变量之和，即$X={X}_{1}+{X}_{2}+\cdots +{X}_{M}$。根据期望的线性性质，有$E(X)=E({X}_{1})+E({X}_{2})+\cdots +E({X}_{M})$。由于每个盒子有球的概率相同，所以$E({X}_{i})=1-{(1-\dfrac {1}{M})}^{n}$。因此，$E(X)=M[ 1-{(1-\dfrac {1}{M})}^{n}] $。