设Ω是由平面x+y+z=K，x=1，y=1以及坐标面所围成的闭区域，且iiintlimits_(Omega)xmathrm(d)xmathrm(d)ymathrm(d)z=(1)/(2)，则K=（）A. 5.B. (13)/(6).C. (7)/(3).D. (5)/(3).

本题考查三重积分的计算，解题思路是先根据已知条件确定积分区域$\Omega$的范围，然后将三重积分化为三次积分进行计算，最后根据给定的积分值求解$K$。

步骤一：确定积分区域$\Omega$的范围

已知$\Omega$是由平面$x + y + z = K$，$x = 1$，$y = 1$以及坐标面所围成的闭区域。
在$xOy$平面上，$z = 0$，由$x + y + z = K$可得$x + y = K$。
因为$x\geq0$，$y\geq0$，$x\leq1$，$y\leq1$，所以积分区域$\Omega$在$xOy$平面上的投影区域$D_{xy}$为：$0\leq x\leq1$，$0\leq y\leq1$，且$z$的范围是从$0$到$K - x - y$。

步骤二：将三重积分化为三次积分

根据上述分析，$\iiint\limits_{\Omega}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$可化为三次积分：
$\iiint\limits_{\Omega}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_{0}^{1}x\mathrm{d}x\int_{0}^{1}\mathrm{d}y\int_{0}^{K - x - y}\mathrm{d}z$

步骤三：计算三次积分

• 先计算最内层关于$z$的积分：
  $\int_{0}^{K - x - y}\mathrm{d}z=z\big|_{0}^{K - x - y}=K - x - y$
  此时积分变为$\int_{0}^{1}x\mathrm{d}x\int_{0}^{1}(K - x - y)\mathrm{d}y$。
• 再计算中间层关于$y$的积分：
  $\int_{0}^{1}(K - x - y)\mathrm{d}y=(K - x)y-\frac{1}{2}y^2\big|_{0}^{1}=(K - x)-\frac{1}{2}=K - x - \frac{1}{2}$
  此时积分变为$\int_{0}^{1}x(K - x - \frac{1}{2})\mathrm{d}x$。
• 最后计算最外层关于$x$的积分：
  $\begin{align*}\int_{0}^{1}x(K - x - \frac{1}{2})\mathrm{d}x&=\int_{0}^{1}(Kx - x^2 - \frac{1}{2}x)\mathrm{d}x\\&=(\frac{1}{2}Kx^2 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2)\big|_{0}^{1}\\&=\frac{1}{2}K - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\\&=\frac{1}{2}K - \frac{4}{12} - \frac{3}{12}\\&=\frac{1}{2}K - \frac{7}{12}\end{align*}$

步骤四：求解$K$

已知$\iiint\limits_{\Omega}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}K - \frac{7}{12}=\frac{1}{2}$。
移项可得$\frac{1}{2}K=\frac{1}{2}+\frac{7}{12}$，即$\frac{1}{2}K=\frac{6}{12}+\frac{7}{12}=\frac{13}{12}$。
两边同时乘以$2$，解得$K = \frac{13}{6}$。