underset(lim)(x→α)dfrac(sinx-sinα)(x-α)．

步骤 1：应用三角恒等式
根据三角恒等式，我们可以将 $sinx - sinα$ 表示为 $2cos\dfrac{x+α}{2}sin\dfrac{x-α}{2}$。这一步骤利用了和差化积的公式，即 $sinA - sinB = 2cos\dfrac{A+B}{2}sin\dfrac{A-B}{2}$。

步骤 2：代入原式
将 $sinx - sinα$ 替换为 $2cos\dfrac{x+α}{2}sin\dfrac{x-α}{2}$，原式变为 $\underset{lim}{x→α}\dfrac{2cos\dfrac{x+α}{2}sin\dfrac{x-α}{2}}{x-α}$。

步骤 3：简化表达式
注意到 $x-α$ 可以写成 $2×\dfrac{x-α}{2}$，因此原式可以进一步简化为 $\underset{lim}{x→α}\dfrac{2cos\dfrac{x+α}{2}sin\dfrac{x-α}{2}}{2×\dfrac{x-α}{2}}$。这样，$2$ 和 $\dfrac{x-α}{2}$ 在分子和分母中相互抵消，简化为 $\underset{lim}{x→α}cos\dfrac{x+α}{2}×\dfrac{sin\dfrac{x-α}{2}}{\dfrac{x-α}{2}}$。

步骤 4：应用极限性质
当 $x→α$ 时，$\dfrac{x-α}{2}→0$，根据极限的性质，$\dfrac{sin\dfrac{x-α}{2}}{\dfrac{x-α}{2}}→1$。因此，原式简化为 $\underset{lim}{x→α}cos\dfrac{x+α}{2}×1$。

步骤 5：计算最终结果
当 $x→α$ 时，$\dfrac{x+α}{2}→α$，因此 $cos\dfrac{x+α}{2}→cosα$。所以，原式的极限值为 $cosα$。