因式分解.(1) x^2 - 4x + 3;(2) 2x^2 + 5x - 3;(3) -x^2 - 4x + 21;(4) 8x^2 + 6x - 35;(5) x^3 + x^2 - 12x;(6) x^4 - 3x^2 + 2;(7) e^2x - (e+1)e^x + e;

我们来逐一分析并因式分解这七道题目。因式分解的目标是将多项式写成几个简单因子的乘积形式。 --- ### **(1) $x^2 - 4x + 3$** 这是一个标准的二次三项式。我们尝试用“十字相乘法”或“配方法”来分解。 **解法：** 寻找两个数，使得： - 它们的乘积为常数项 3， - 它们的和为一次项系数 -4。 这两个数是 -1 和 -3。 所以： $$ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) $$ --- ### **(2) $2x^2 + 5x - 3$** 这是一个二次三项式，首项系数不是 1，我们用“十字相乘法”或“分组法”。 **解法：** 我们寻找两个数，使得： - 它们的乘积为 $2 \times (-3) = -6$， - 它们的和为 5。 这两个数是 6 和 -1。 将中间项拆开： $$ 2x^2 + 6x - x - 3 $$ 分组： $$ (2x^2 + 6x) - (x + 3) = 2x(x + 3) -1(x + 3) $$ 提取公因式： $$ (2x - 1)(x + 3) $$ --- ### **(3) $-x^2 - 4x + 21$** 首项为负，我们可以先提取负号。 $$ = -(x^2 + 4x - 21) $$ 然后对括号内进行因式分解： 寻找两个数，乘积为 -21，和为 4。 这两个数是 7 和 -3。 所以： $$ x^2 + 4x - 21 = (x + 7)(x - 3) $$ 因此： $$ -x^2 - 4x + 21 = -(x + 7)(x - 3) $$ --- ### **(4) $8x^2 + 6x - 35$** 首项系数为 8，我们用“十字相乘法”或“分组法”。 **解法：** 我们寻找两个数，使得： - 它们的乘积为 $8 \times (-35) = -280$， - 它们的和为 6。 这两个数是 20 和 -14。 将中间项拆开： $$ 8x^2 + 20x - 14x - 35 $$ 分组： $$ (8x^2 + 20x) - (14x + 35) = 4x(2x + 5) -7(2x + 5) $$ 提取公因式： $$ (4x - 7)(2x + 5) $$ --- ### **(5) $x^3 + x^2 - 12x$** 先提取公因式 $x$： $$ x(x^2 + x - 12) $$ 然后对括号内的二次三项式进行因式分解： 寻找两个数，乘积为 -12，和为 1。 这两个数是 4 和 -3。 所以： $$ x^2 + x - 12 = (x + 4)(x - 3) $$ 因此： $$ x^3 + x^2 - 12x = x(x + 4)(x - 3) $$ --- ### **(6) $x^4 - 3x^2 + 2$** 这是一个“双二次”多项式，可以设 $y = x^2$，则原式变为： $$ y^2 - 3y + 2 $$ 因式分解： $$ (y - 1)(y - 2) $$ 代回 $y = x^2$： $$ (x^2 - 1)(x^2 - 2) $$ 进一步分解： $$ (x - 1)(x + 1)(x^2 - 2) $$ --- ### **(7) $e^{2x} - (e+1)e^x + e$** 我们设 $y = e^x$，则原式变为： $$ y^2 - (e+1)y + e $$ 这是一个标准的二次三项式。 我们尝试因式分解： 寻找两个数，使得： - 它们的乘积为 $e$， - 它们的和为 $-(e+1)$ 这两个数是 $-e$ 和 $-1$。 所以： $$ y^2 - (e+1)y + e = (y - e)(y - 1) $$ 代回 $y = e^x$： $$ (e^x - e)(e^x - 1) $$ --- ### **最终答案汇总：** 1. $x^2 - 4x + 3 = \boxed{(x - 1)(x - 3)}$ 2. $2x^2 + 5x - 3 = \boxed{(2x - 1)(x + 3)}$ 3. $-x^2 - 4x + 21 = \boxed{-(x + 7)(x - 3)}$ 4. $8x^2 + 6x - 35 = \boxed{(4x - 7)(2x + 5)}$ 5. $x^3 + x^2 - 12x = \boxed{x(x + 4)(x - 3)}$ 6. $x^4 - 3x^2 + 2 = \boxed{(x - 1)(x + 1)(x^2 - 2)}$ 7. $e^{2x} - (e+1)e^x + e = \boxed{(e^x - e)(e^x - 1)}$