题目

1.29 下列无穷限反常积分中发散的是（）bigcircint_(0)^+infty(1)/(1+x^2)dxbigcircint_(-infty)^+infty(1)/(1+x^2)dxbigcircint_((1)/(x))^+infty(1)/(x)dxbigcircint_(0)^+inftye^-xdx

1.29 下列无穷限反常积分中发散的是（） $\bigcirc\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx$ $\bigcirc\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx$ $\bigcirc\int_{\frac{1}{x}}^{+\infty}\frac{1}{x}dx$ $\bigcirc\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$

题目解答

答案

**答案：C** **解析：** - **选项A：** $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{2}$，收敛。 - **选项B：** $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \pi$，收敛。 - **选项C：** $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx = +\infty$，发散。 - **选项D：** $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \, dx = 1$，收敛。 **答案：** $\boxed{C}$

解析

考查要点：本题主要考查无穷限反常积分的收敛性判断，需要掌握常见函数的积分结果及收敛性判定方法。

解题核心思路：

识别被积函数类型：不同被积函数对应不同的收敛性规律，如$\frac{1}{1+x^2}$、$\frac{1}{x}$、$e^{-x}$等。
计算或判断积分结果：通过直接计算或比较判别法，判断积分是否收敛。
特殊积分结果记忆：如$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2}dx = \frac{\pi}{2}$，$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}dx$发散等。

破题关键点：

选项C的积分区间：需注意积分下限可能为书写错误（如应为$1$而非$\frac{1}{x}$），否则积分无意义。
发散性判断：$\frac{1}{x}$在无穷区间上的积分发散，而指数函数$e^{-x}$和$\frac{1}{1+x^2}$的积分均收敛。

选项A：$\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx$

积分计算

原函数为$\arctan x$，计算得：
$\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx = \arctan(+\infty) - \arctan(0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$
结论：收敛。

选项B：$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx$

拆分积分区间

$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx = \int_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^{2}}dx + \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^{2}}dx$
每个子积分结果为$\frac{\pi}{2}$，总和为$\pi$。
结论：收敛。

选项C：$\int_{\frac{1}{x}}^{+\infty}\frac{1}{x}dx$

积分区间修正

假设题目书写错误，积分下限应为$1$（即$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx$）。

积分计算

$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x}dx = \lim_{b \to +\infty} \ln b - \ln 1 = +\infty$
结论：发散。

选项D：$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx$

积分计算

原函数为$-e^{-x}$，计算得：
$\int_{0}^{+\infty}e^{-x}dx = \lim_{b \to +\infty} (-e^{-b}) + e^{0} = 0 + 1 = 1$
结论：收敛。