已知 y'' + y = x 的一个解为 y_1 = x，y'' + y = e^x 的一个解为 y_2 = (1)/(2) e^x，则方程 y'' + y = x + e^x 的通解为(）。A. x + (1)/(2) e^x；B. C_1 cos x + C_2 sin x + (1)/(2) e^x + x；C. C_1 cos x + C_2 sin x + x；D. C_1 cos x + C_2 sin x。

考查要点：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程的通解结构，涉及齐次解与特解的叠加原理。

解题核心思路：

1. 齐次方程的通解：对应齐次方程 $y'' + y = 0$ 的特征方程为 $r^2 + 1 = 0$，根为 $r = \pm i$，因此齐次解为 $C_1 \cos x + C_2 \sin x$。
2. 非齐次方程的特解叠加：根据线性微分方程的叠加原理，若非齐次项为 $x + e^x$，则特解可由 $y_1 = x$（对应 $x$）和 $y_2 = \frac{1}{2} e^x$（对应 $e^x$）直接相加得到。
3. 通解形式：最终通解为齐次解加上特解之和。

破题关键：明确通解的结构为齐次解与特解的叠加，并正确识别特解的叠加方式。

步骤1：求齐次方程的通解

对应齐次方程为 $y'' + y = 0$，特征方程为：
$r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i$
因此齐次解为：
$y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

步骤2：确定非齐次方程的特解

题目已给出：

• 当非齐次项为 $x$ 时，特解为 $y_1 = x$；
• 当非齐次项为 $e^x$ 时，特解为 $y_2 = \frac{1}{2} e^x$。

根据叠加原理，非齐次方程 $y'' + y = x + e^x$ 的特解为：
$y_p = y_1 + y_2 = x + \frac{1}{2} e^x$

步骤3：写出通解

通解为齐次解与特解之和：
$y = y_h + y_p = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x + \frac{1}{2} e^x$