题目
27. 已知函数z=f(x,y)连续且满足lim_(x to 1_{y to 0)}(f(x,y)-x+2y+2)/(sqrt((x-1)^2)+y^(2))=0，则lim_(t to 0)(f(1+t,0)-f(1,2t))/(t)=_____.
27. 已知函数z=f(x,y)连续且满足$\lim_{x \to 1_{y \to 0}}\frac{f(x,y)-x+2y+2}{\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}=0$，则$\lim_{t \to 0}\frac{f(1+t,0)-f(1,2t)}{t}=$_____.
题目解答
答案
由极限条件 $\lim_{(x, y) \to (1, 0)} \frac{f(x, y) - x + 2y + 2}{\sqrt{(x-1)^2 + y^2}} = 0$，可得
\[ f(x, y) \approx x - 2y - 2 + o(\sqrt{(x-1)^2 + y^2}). \]
在 $(1, 0)$ 处，有 $f(1, 0) = -1$，且
\[ f_x'(1, 0) = 1, \quad f_y'(1, 0) = -2. \]
利用全微分近似：
\[ f(1+t, 0) \approx -1 + t, \quad f(1, 2t) \approx -1 - 4t. \]
因此，
\[ \lim_{t \to 0} \frac{f(1+t, 0) - f(1, 2t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(-1 + t) - (-1 - 4t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{5t}{t} = 5. \]
答案：$\boxed{5}$
解析
步骤 1：理解极限条件
给定的极限条件是 $\lim_{(x, y) \to (1, 0)} \frac{f(x, y) - x + 2y + 2}{\sqrt{(x-1)^2 + y^2}} = 0$。这意味着当 $(x, y)$ 接近 $(1, 0)$ 时，$f(x, y)$ 的值接近 $x - 2y - 2$，加上一个高阶无穷小量 $o(\sqrt{(x-1)^2 + y^2})$。
步骤 2：计算 $f(1, 0)$ 和偏导数
根据极限条件，当 $(x, y)$ 接近 $(1, 0)$ 时，$f(x, y)$ 的值接近 $x - 2y - 2$。因此，$f(1, 0) = 1 - 2 \cdot 0 - 2 = -1$。同时，根据极限条件，可以推导出 $f_x'(1, 0) = 1$ 和 $f_y'(1, 0) = -2$。
步骤 3：利用全微分近似
利用全微分近似，可以得到 $f(1+t, 0) \approx -1 + t$ 和 $f(1, 2t) \approx -1 - 4t$。这是因为 $f_x'(1, 0) = 1$ 和 $f_y'(1, 0) = -2$，所以 $f(1+t, 0) \approx f(1, 0) + f_x'(1, 0) \cdot t = -1 + t$，$f(1, 2t) \approx f(1, 0) + f_y'(1, 0) \cdot 2t = -1 - 4t$。
步骤 4：计算极限
根据步骤 3 的结果，可以计算出 $\lim_{t \to 0} \frac{f(1+t, 0) - f(1, 2t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(-1 + t) - (-1 - 4t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{5t}{t} = 5$。
给定的极限条件是 $\lim_{(x, y) \to (1, 0)} \frac{f(x, y) - x + 2y + 2}{\sqrt{(x-1)^2 + y^2}} = 0$。这意味着当 $(x, y)$ 接近 $(1, 0)$ 时，$f(x, y)$ 的值接近 $x - 2y - 2$，加上一个高阶无穷小量 $o(\sqrt{(x-1)^2 + y^2})$。
步骤 2：计算 $f(1, 0)$ 和偏导数
根据极限条件，当 $(x, y)$ 接近 $(1, 0)$ 时，$f(x, y)$ 的值接近 $x - 2y - 2$。因此，$f(1, 0) = 1 - 2 \cdot 0 - 2 = -1$。同时，根据极限条件，可以推导出 $f_x'(1, 0) = 1$ 和 $f_y'(1, 0) = -2$。
步骤 3：利用全微分近似
利用全微分近似，可以得到 $f(1+t, 0) \approx -1 + t$ 和 $f(1, 2t) \approx -1 - 4t$。这是因为 $f_x'(1, 0) = 1$ 和 $f_y'(1, 0) = -2$，所以 $f(1+t, 0) \approx f(1, 0) + f_x'(1, 0) \cdot t = -1 + t$，$f(1, 2t) \approx f(1, 0) + f_y'(1, 0) \cdot 2t = -1 - 4t$。
步骤 4：计算极限
根据步骤 3 的结果，可以计算出 $\lim_{t \to 0} \frac{f(1+t, 0) - f(1, 2t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(-1 + t) - (-1 - 4t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{5t}{t} = 5$。