设矩阵 A=} t & t t & 1 为正定矩阵，则 t 的取值范围为__________。A. 0B. tC. t>0D. t>1

本题考查正定矩阵的判定，解题思路是根据正定矩阵的性质，即矩阵的各阶顺序主子式都大于零来确定$t$的取值范围。

1. 首先明确矩阵$A$的一阶顺序主子式：
   • 对于矩阵$A=\begin{pmatrix}t&t\\t&1\end{pmatrix}$，其一阶顺序主子式为矩阵$A$的主对角线元素，即$\Delta_1 = t$。
   • 因为正定矩阵的一阶顺序主子式大于零，所以$\Delta_1=t>0$。
2. 然后计算矩阵$A$的二阶顺序主子式：
   • 二阶顺序主子式为矩阵$A$的行列式$\Delta_2=\begin{vmatrix}t&t\\t&1\end{vmatrix}$。
   • 根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，可得$\Delta_2=t\times1 - t\times t=t - t^2$。
   • 由于正定矩阵的二阶顺序主子式也大于零，所以$\Delta_2=t - t^2>0$。
   • 对不等式$t - t^2>0$进行求解，提取公因式$t$得到$t(1 - t)>0$。
   • 令$y=t(1 - t)=-t^2 + t$，这是一个二次函数，二次项系数$-1<0$，函数图象开口向下，且$y = 0$的两根为$t_1 = 0$，$t_2 = 1$。
   • 根据二次函数图象性质，不等式$t(1 - t)>0$的解集为$0<t<1$。
3. 最后综合两个条件确定$t$的取值范围：
   • 要使矩阵$A$为正定矩阵，需同时满足一阶顺序主子式$\Delta_1>0$和二阶顺序主子式$\Delta_2>0$。
   • 由$\Delta_1=t>0$和$\Delta_2=t - t^2>0$（即$0<t<1$），取交集可得$0<t<1$。