题目
椭圆 4x^2+y^2=4 在点 (0,2) 处的曲率 K=______ .
椭圆 $4x^2+y^2=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率 $K=$______ .
题目解答
答案
2
解析
步骤 1：求椭圆的参数方程
椭圆 $4x^2+y^2=4$ 可以写成标准形式 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$，其参数方程为 $x=\cos t$，$y=2\sin t$。
步骤 2：求一阶导数
对参数方程求导，得到 $x'=-\sin t$，$y'=2\cos t$。
步骤 3：求二阶导数
对一阶导数求导，得到 $x''=-\cos t$，$y''=-2\sin t$。
步骤 4：计算曲率
曲率 $K$ 的公式为 $K=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$。将 $x'$，$y'$，$x''$，$y''$ 代入公式，得到 $K=\frac{|(-\sin t)(-2\sin t)-(2\cos t)(-\cos t)|}{((-sin t)^2+(2\cos t)^2)^{3/2}}$。
步骤 5：计算点 $(0,2)$ 处的曲率
点 $(0,2)$ 对应参数 $t=\frac{\pi}{2}$，代入曲率公式，得到 $K=\frac{|(-\sin \frac{\pi}{2})(-2\sin \frac{\pi}{2})-(2\cos \frac{\pi}{2})(-\cos \frac{\pi}{2})|}{((-sin \frac{\pi}{2})^2+(2\cos \frac{\pi}{2})^2)^{3/2}}=\frac{|(-1)(-2)-(0)(0)|}{((-1)^2+(0)^2)^{3/2}}=\frac{2}{1^{3/2}}=2$。
椭圆 $4x^2+y^2=4$ 可以写成标准形式 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$，其参数方程为 $x=\cos t$，$y=2\sin t$。
步骤 2：求一阶导数
对参数方程求导，得到 $x'=-\sin t$，$y'=2\cos t$。
步骤 3：求二阶导数
对一阶导数求导，得到 $x''=-\cos t$，$y''=-2\sin t$。
步骤 4：计算曲率
曲率 $K$ 的公式为 $K=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$。将 $x'$，$y'$，$x''$，$y''$ 代入公式，得到 $K=\frac{|(-\sin t)(-2\sin t)-(2\cos t)(-\cos t)|}{((-sin t)^2+(2\cos t)^2)^{3/2}}$。
步骤 5：计算点 $(0,2)$ 处的曲率
点 $(0,2)$ 对应参数 $t=\frac{\pi}{2}$，代入曲率公式，得到 $K=\frac{|(-\sin \frac{\pi}{2})(-2\sin \frac{\pi}{2})-(2\cos \frac{\pi}{2})(-\cos \frac{\pi}{2})|}{((-sin \frac{\pi}{2})^2+(2\cos \frac{\pi}{2})^2)^{3/2}}=\frac{|(-1)(-2)-(0)(0)|}{((-1)^2+(0)^2)^{3/2}}=\frac{2}{1^{3/2}}=2$。