题目
设矩阵A和B满足AB=A+2B，求矩阵B，其中A=(}3&0&11&1&00&1&2).
设矩阵A和B满足$AB=A+2B$，求矩阵B，其中$A=\left(\begin{matrix}3&0&1\\1&1&0\\0&1&2\end{matrix}\right).$
题目解答
答案
为了找到满足方程 $AB = A + 2B$ 的矩阵 $B$，我们首先重新排列方程，将 $B$ 隔离出来。首先，我们可以在等式的两边减去 $2B$：
\[AB - 2B = A.\]
接下来，我们可以在等式的左边提取出 $B$：
\[(A - 2I)B = A,\]
其中 $I$ 是单位矩阵。单位矩阵 $I$ 是：
\[I = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]
因此，$2I$ 是：
\[2I = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}.\]
从 $A$ 中减去 $2I$，我们得到：
\[A - 2I = \begin{pmatrix}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.\]
所以方程变为：
\[\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}B = \begin{pmatrix}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix}.\]
为了求解 $B$，我们需要找到矩阵 $A - 2I$ 的逆矩阵，然后将它从等式的右边乘以。我们用 $C$ 表示 $A - 2I$：
\[C = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.\]
我们需要找到 $C^{-1}$。矩阵 $C$ 的行列式是：
\[\det(C) = 1 \cdot (-1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) - 0 \cdot (1 \cdot 0 - 0 \cdot 0) + 1 \cdot (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) = 1 \cdot 0 - 0 + 1 \cdot 1 = 1.\]
由于行列式非零，$C$ 是可逆的。$C$ 的伴随矩阵是 $C$ 的余子式矩阵的转置。余子式矩阵是：
\[\begin{pmatrix}
\begin{vmatrix}-1 & 0 \\ 1 & 0\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & -1 \\ 0 & 1\end{vmatrix} \\
-\begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 0 & 0\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} \\
\begin{vmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 1 & -1\end{vmatrix}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}.\]
因此，伴随矩阵是：
\[\text{adj}(C) = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & -1 & -1
\end{pmatrix}.\]
$C$ 的逆矩阵是：
\[C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} \text{adj}(C) = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & -1 & -1
\end{pmatrix}.\]
现在，我们可以求解 $B$：
\[B = C^{-1}A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & -1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}.\]
执行矩阵乘法，我们得到：
\[B = \begin{pmatrix}
0 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \\
0 \cdot 3 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \\
1 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot 1 & 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 2
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
2 & -2 & -1
\end{pmatrix}.\]
因此，矩阵 $B$ 是：
\[\boxed{\begin{pmatrix}1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1\end{pmatrix}}.\]