题目
int dfrac (dx)(sqrt {x(1+x))}
题目解答
答案
解析
步骤 1：代换
令 $u = x + \frac{1}{2}$，则 $x = u - \frac{1}{2}$，$dx = du$。代入原积分，得到
$$\int \frac{u - \frac{1}{2}}{\sqrt{(u - \frac{1}{2})(u + \frac{1}{2})}} du$$
步骤 2：化简
化简被积函数，得到
$$\int \frac{u - \frac{1}{2}}{\sqrt{u^2 - \frac{1}{4}}} du$$
步骤 3：积分
利用积分公式 $\int \frac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}} du = \ln |u + \sqrt{u^2 - a^2}| + C$，得到
$$\int \frac{u - \frac{1}{2}}{\sqrt{u^2 - \frac{1}{4}}} du = \ln |u + \sqrt{u^2 - \frac{1}{4}}| + C$$
步骤 4：回代
将 $u = x + \frac{1}{2}$ 回代，得到
$$\ln |x + \frac{1}{2} + \sqrt{x(x+1)}| + C$$
令 $u = x + \frac{1}{2}$，则 $x = u - \frac{1}{2}$，$dx = du$。代入原积分，得到
$$\int \frac{u - \frac{1}{2}}{\sqrt{(u - \frac{1}{2})(u + \frac{1}{2})}} du$$
步骤 2：化简
化简被积函数，得到
$$\int \frac{u - \frac{1}{2}}{\sqrt{u^2 - \frac{1}{4}}} du$$
步骤 3：积分
利用积分公式 $\int \frac{1}{\sqrt{u^2 - a^2}} du = \ln |u + \sqrt{u^2 - a^2}| + C$，得到
$$\int \frac{u - \frac{1}{2}}{\sqrt{u^2 - \frac{1}{4}}} du = \ln |u + \sqrt{u^2 - \frac{1}{4}}| + C$$
步骤 4：回代
将 $u = x + \frac{1}{2}$ 回代，得到
$$\ln |x + \frac{1}{2} + \sqrt{x(x+1)}| + C$$