题目
【题目】-|||-已知 (x)=(int )_(x)^2sqrt (2+{t)^2}dt 则 f'(1)= () .-|||-A. -sqrt (3) B. sqrt (3)-sqrt (6) C. sqrt (6)-sqrt (3) D. sqrt (3)
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，若 $f(x)={\int }_{a}^{x}g(t)dt$，则 $f'(x)=g(x)$。但本题中积分的上限是常数2，下限是变量x，因此需要调整形式。
步骤 2：调整积分形式
$f(x)={\int }_{x}^{2}\sqrt {2+{t}^{2}}dt=-{\int }_{2}^{x}\sqrt {2+{t}^{2}}dt$。这样，我们就可以应用微积分基本定理了。
步骤 3：求导
根据微积分基本定理，$f'(x)=-\sqrt {2+x^2}$。因此，$f'(1)=-\sqrt {2+1^2}=-\sqrt {3}$。
根据微积分基本定理，若 $f(x)={\int }_{a}^{x}g(t)dt$，则 $f'(x)=g(x)$。但本题中积分的上限是常数2，下限是变量x，因此需要调整形式。
步骤 2：调整积分形式
$f(x)={\int }_{x}^{2}\sqrt {2+{t}^{2}}dt=-{\int }_{2}^{x}\sqrt {2+{t}^{2}}dt$。这样，我们就可以应用微积分基本定理了。
步骤 3：求导
根据微积分基本定理，$f'(x)=-\sqrt {2+x^2}$。因此，$f'(1)=-\sqrt {2+1^2}=-\sqrt {3}$。