设平面图形由曲线y=1-x2(x≥0)及两坐标轴围成,求(1) 该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体体积(2) 求常数a的值,使直线y=a将该平面图形分成面积相等的两部分。

考查要点：

1. 旋转体体积计算：利用积分法求旋转体体积，掌握绕x轴旋转的体积公式。
2. 面积等分问题：通过积分求平面图形的面积，并建立方程求解参数。

解题核心思路：

1. 体积计算：将平面图形绕x轴旋转，使用圆盘法，积分被积函数为$πy^2$，积分区间为图形在x轴上的投影范围。
2. 面积等分：将总面积分为两部分，通过积分建立方程，解方程求参数$a$。

破题关键点：

1. 确定积分区间：曲线$y=1-x^2$（$x \geq 0$）与坐标轴围成的区域，x范围为$[0,1]$。
2. 变量替换：在面积等分问题中，将积分变量从$x$转换为$y$，简化计算。

第（1）题

旋转体体积

1. 确定积分区间：曲线与x轴交点为$x=1$，积分区间为$[0,1]$。
2. 应用圆盘法公式：体积$V = π\int_{0}^{1} y^2 dx = π\int_{0}^{1} (1-x^2)^2 dx$。
3. 展开被积函数：$(1-x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4$。
4. 逐项积分：
   $\int_{0}^{1} (1 - 2x^2 + x^4) dx = \left[ x - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}$
5. 最终结果：$V = \frac{8π}{15}$。

第（2）题

求常数$a$使面积相等

1. 总面积计算：
   $S = \int_{0}^{1} (1-x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$
   每部分面积应为$\frac{1}{3}$。
2. 转换积分变量：以$y$为变量，$x = \sqrt{1-y}$，积分区间为$[0,1]$。
3. 建立方程：
   $\int_{0}^{a} \sqrt{1-y} \, dy = \int_{a}^{1} \sqrt{1-y} \, dy$
4. 计算积分：
   $\int \sqrt{1-y} \, dy = -\frac{2}{3}(1-y)^{3/2} + C$
5. 代入上下限：
   $-\frac{2}{3}(1-a)^{3/2} + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}(1-a)^{3/2}$
6. 解方程：
   $1 - (1-a)^{3/2} = (1-a)^{3/2} \implies (1-a)^{3/2} = \frac{1}{2} \implies a = 1 - \left( \frac{1}{4} \right)^{1/3}$