7.设 =xln (xy) ,求 dfrac ({a)^3z}(a{x)^2dy} 及 dfrac ({a)^3z}(axpartial {y)^2}

考查要点：本题主要考查多元函数的高阶偏导数计算，特别是混合偏导数的求解过程。需要熟练掌握链式法则和乘积法则，并注意求导顺序对结果的影响。

解题核心思路：

1. 分步求导：从一阶偏导数开始，逐步计算二阶、三阶偏导数，确保每一步的正确性。
2. 变量处理：在对某一变量求导时，其余变量视为常数。
3. 混合偏导数顺序：注意题目要求的求导顺序（如先对$x$两次再对$y$，或先对$y$两次再对$x$），严格按照顺序计算。

破题关键点：

• 简化表达式：利用对数性质$\ln(xy) = \ln x + \ln y$，可简化计算。
• 逐层求导：通过分步求导，避免高阶导数计算中的复杂性。

1. 计算$\dfrac{\partial z}{\partial x}$

原函数$z = x \ln(xy)$，对$x$求偏导：
$\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x} &= \ln(xy) + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}[\ln(xy)] \\&= \ln(xy) + x \cdot \frac{1}{xy} \cdot y \\&= \ln(xy) + 1.\end{aligned}$

2. 计算$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$

对$\dfrac{\partial z}{\partial x}$再次对$x$求导：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}[\ln(xy) + 1] = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x}.$

3. 计算$\dfrac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}$

对$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$对$y$求导：
$\frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$

4. 计算$\dfrac{\partial z}{\partial y}$

原函数$z = x \ln(xy)$，对$y$求偏导：
$\frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{\partial}{\partial y}[\ln(xy)] = x \cdot \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{x}{y}.$

5. 计算$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

对$\dfrac{\partial z}{\partial y}$对$x$求导：
$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{y}.$

6. 计算$\dfrac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2}$

对$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$对$y$求导：
$\frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{y^2}.$