题目
5.下列级数中,条件收敛的是 () .-|||-(A) sum _(n=1)^infty ((-1))^n-1dfrac (n)(sqrt {{n)^3+1}} (B) sum _(n=1)^infty ((-1))^n-1dfrac (n)({2)^n}-|||-(C) sum _(n=1)^infty ((-1))^n-1sin dfrac (1)({n)^2} (D) sum _(n=1)^infty ((-1))^n-1dfrac (1)(n{2)^n}
题目解答
答案
解析
步骤 1：判断级数的绝对收敛性
对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}a_n$，如果 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，则原级数绝对收敛。如果 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$ 发散，但 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}a_n$ 收敛，则原级数条件收敛。
步骤 2：分析选项 (A)
对于 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}}$，考虑绝对值 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}}$。由于 $\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}} \sim \dfrac {1}{\sqrt {n}}$，而 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {n}}$ 发散，所以 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}}$ 发散。但是，由于 $\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}}$ 单调递减且趋于0，根据莱布尼茨判别法，原级数收敛。因此，该级数条件收敛。
步骤 3：分析选项 (B)
对于 ${(-1)}^{n-1}{(-1)}^{n-1}\dfrac {n}{{2}^{n}}$，简化为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{{2}^{n}}$。这是一个几何级数，绝对收敛。
步骤 4：分析选项 (C)
对于 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\sin \dfrac {1}{{n}^{2}}$，由于 $\sin \dfrac {1}{{n}^{2}} \sim \dfrac {1}{{n}^{2}}$，而 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 收敛，所以 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\sin \dfrac {1}{{n}^{2}}$ 绝对收敛。
步骤 5：分析选项 (D)
对于 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\dfrac {1}{n{2}^{n}}$，由于 $\dfrac {1}{n{2}^{n}}$ 单调递减且趋于0，根据莱布尼茨判别法，原级数收敛。同时，由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n{2}^{n}}$ 收敛，所以该级数绝对收敛。
对于级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}a_n$，如果 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$ 收敛，则原级数绝对收敛。如果 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$ 发散，但 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}a_n$ 收敛，则原级数条件收敛。
步骤 2：分析选项 (A)
对于 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}}$，考虑绝对值 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}}$。由于 $\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}} \sim \dfrac {1}{\sqrt {n}}$，而 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{\sqrt {n}}$ 发散，所以 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}}$ 发散。但是，由于 $\dfrac {n}{\sqrt {{n}^{3}+1}}$ 单调递减且趋于0，根据莱布尼茨判别法，原级数收敛。因此，该级数条件收敛。
步骤 3：分析选项 (B)
对于 ${(-1)}^{n-1}{(-1)}^{n-1}\dfrac {n}{{2}^{n}}$，简化为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {n}{{2}^{n}}$。这是一个几何级数，绝对收敛。
步骤 4：分析选项 (C)
对于 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\sin \dfrac {1}{{n}^{2}}$，由于 $\sin \dfrac {1}{{n}^{2}} \sim \dfrac {1}{{n}^{2}}$，而 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{{n}^{2}}$ 收敛，所以 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\sin \dfrac {1}{{n}^{2}}$ 绝对收敛。
步骤 5：分析选项 (D)
对于 $\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\dfrac {1}{n{2}^{n}}$，由于 $\dfrac {1}{n{2}^{n}}$ 单调递减且趋于0，根据莱布尼茨判别法，原级数收敛。同时，由于 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n{2}^{n}}$ 收敛，所以该级数绝对收敛。