题目

若 D=|-8 & 7 & 4 & 3 6 & -2 & 3 & -1 1 & 1 & 1 & 1 4 & 3 & -7 & 5|，则 D 中第一行元的代数余子式的和为() A. -1B. -2C. -3D. 0

若 $D=\left|\begin{array}{cccccc}-8 & 7 & 4 & 3 \\ 6 & -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -7 & 5\end{array}\right|$，则 $D$ 中第一行元的代数余子式的和为()

  • A. -1
  • B. -2
  • C. -3
  • D. 0

题目解答

答案

为了求解行列式 $ D = \begin{vmatrix} -8 & 7 & 4 & 3 \\ 6 & -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -7 & 5 \end{vmatrix} $ 中第一行元素的代数余子式的和，我们首先需要理解代数余子式的定义。对于行列式 $ D $ 中的元素 $ a_{1j} $，其代数余子式 $ A_{1j} $ 定义为 $ (-1)^{1+j} $ 乘以元素 $ a_{1j} $ 的余子式 $ M_{1j} $。余子式 $ M_{1j} $ 是从 $ D $ 中划去第1行和第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 阶行列式。 第一行元素的代数余子式的和为： \[ A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14} \] 根据代数余子式的定义，我们有： \[ A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = M_{11} \] \[ A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12} \] \[ A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = M_{13} \] \[ A_{14} = (-1)^{1+4} M_{14} = -M_{14} \] 因此，第一行元素的代数余子式的和为： \[ M_{11} - M_{12} + M_{13} - M_{14} \] 余子式 $ M_{11} $ 是从 $ D $ 中划去第1行和第1列后得到的行列式： \[ M_{11} = \begin{vmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 5 \end{vmatrix} \] 余子式 $ M_{12} $ 是从 $ D $ 中划去第1行和第2列后得到的行列式： \[ M_{12} = \begin{vmatrix} 6 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -7 & 5 \end{vmatrix} \] 余子式 $ M_{13} $ 是从 $ D $ 中划去第1行和第3列后得到的行列式： \[ M_{13} = \begin{vmatrix} 6 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} \] 余子式 $ M_{14} $ 是从 $ D $ 中划去第1行和第4列后得到的行列式： \[ M_{14} = \begin{vmatrix} 6 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -7 \end{vmatrix} \] 现在，我们计算这些余子式： \[ M_{11} = \begin{vmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 5 \end{vmatrix} = -2(1 \cdot 5 - 1 \cdot (-7)) - 3(1 \cdot 5 - 1 \cdot 3) - 1(1 \cdot (-7) - 1 \cdot 3) = -2(5 + 7) - 3(5 - 3) - 1(-7 - 3) = -2 \cdot 12 - 3 \cdot 2 + 10 = -24 - 6 + 10 = -20 \] \[ M_{12} = \begin{vmatrix} 6 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -7 & 5 \end{vmatrix} = 6(1 \cdot 5 - 1 \cdot (-7)) - 3(1 \cdot 5 - 1 \cdot 4) - 1(1 \cdot (-7) - 1 \cdot 4) = 6(5 + 7) - 3(5 - 4) - 1(-7 - 4) = 6 \cdot 12 - 3 \cdot 1 + 11 = 72 - 3 + 11 = 80 \] \[ M_{13} = \begin{vmatrix} 6 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 6(1 \cdot 5 - 1 \cdot 3) - (-2)(1 \cdot 5 - 1 \cdot 4) - 1(1 \cdot 3 - 1 \cdot 4) = 6(5 - 3) + 2(5 - 4) - 1(3 - 4) = 6 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 = 12 + 2 + 1 = 15 \] \[ M_{14} = \begin{vmatrix} 6 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -7 \end{vmatrix} = 6(1 \cdot (-7) - 1 \cdot 3) - (-2)(1 \cdot (-7) - 1 \cdot 4) + 3(1 \cdot 3 - 1 \cdot 4) = 6(-7 - 3) + 2(-7 - 4) + 3(3 - 4) = 6 \cdot (-10) + 2 \cdot (-11) + 3 \cdot (-1) = -60 - 22 - 3 = -85 \] 因此，第一行元素的代数余子式的和为： \[ M_{11} - M_{12} + M_{13} - M_{14} = -20 - 80 + 15 + 85 = 0 \] 所以，答案是： \[ \boxed{D} \]

解析

考查要点：本题主要考查代数余子式的定义及行列式的计算。
解题思路：

  1. 代数余子式的定义：代数余子式 $A_{ij}$ 是 $(-1)^{i+j}$ 乘以对应的余子式 $M_{ij}$（即划去第 $i$ 行第 $j$ 列后的子行列式）。
  2. 关键性质：第一行代数余子式的和可表示为 $A_{11} - A_{12} + A_{13} - A_{14}$，即 $M_{11} - M_{12} + M_{13} - M_{14}$。
  3. 计算步骤：分别计算四个余子式 $M_{11}, M_{12}, M_{13}, M_{14}$，代入公式求和。

计算余子式 $M_{11}$

划去第1行第1列后，子行列式为：
$M_{11} = \begin{vmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & -7 & 5 \end{vmatrix}$
按第一行展开：
$\begin{aligned}M_{11} &= -2 \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot (-7)) - 3 \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot 3) + (-1) \cdot (1 \cdot (-7) - 1 \cdot 3) \\&= -2 \cdot 12 - 3 \cdot 2 + 10 = -24 - 6 + 10 = -20.\end{aligned}$

计算余子式 $M_{12}$

划去第1行第2列后，子行列式为：
$M_{12} = \begin{vmatrix} 6 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -7 & 5 \end{vmatrix}$
按第一行展开：
$\begin{aligned}M_{12} &= 6 \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot (-7)) - 3 \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot 4) + (-1) \cdot (1 \cdot (-7) - 1 \cdot 4) \\&= 6 \cdot 12 - 3 \cdot 1 + 11 = 72 - 3 + 11 = 80.\end{aligned}$

计算余子式 $M_{13}$

划去第1行第3列后，子行列式为：
$M_{13} = \begin{vmatrix} 6 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix}$
按第一行展开：
$\begin{aligned}M_{13} &= 6 \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot 3) - (-2) \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot 4) + (-1) \cdot (1 \cdot 3 - 1 \cdot 4) \\&= 6 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 1 = 12 + 2 + 1 = 15.\end{aligned}$

计算余子式 $M_{14}$

划去第1行第4列后，子行列式为：
$M_{14} = \begin{vmatrix} 6 & -2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -7 \end{vmatrix}$
按第一行展开：
$\begin{aligned}M_{14} &= 6 \cdot (1 \cdot (-7) - 1 \cdot 3) - (-2) \cdot (1 \cdot (-7) - 1 \cdot 4) + 3 \cdot (1 \cdot 3 - 1 \cdot 4) \\&= 6 \cdot (-10) + 2 \cdot (-11) + 3 \cdot (-1) = -60 - 22 - 3 = -85.\end{aligned}$

代数余子式的和

$\begin{aligned}A_{11} + A_{12} + A_{13} + A_{14} &= M_{11} - M_{12} + M_{13} - M_{14} \\&= (-20) - 80 + 15 - (-85) \\&= -20 - 80 + 15 + 85 = 0.\end{aligned}$