[题目]设 (x)=lim _(narrow infty )dfrac (1+x)(1+{x)^2n}, 求f(x)的间断点,并说-|||-明间断点所属类型.

考查要点：本题主要考查分段函数的极限求解及函数间断点的判断，需要结合不同区间内变量的取值分析极限行为，进而确定函数表达式，最后通过左右极限与函数值的关系判断间断点类型。

解题核心思路：

1. 分情况讨论：根据$x$的不同取值范围（$|x| < 1$、$|x| = 1$、$|x| > 1$），分析$x^{2n}$的极限行为。
2. 求分段表达式：结合极限结果，写出$f(x)$的分段表达式。
3. 判断间断点：通过比较分段点处的左右极限与函数值，确定是否存在间断点及其类型。

破题关键点：

• 关键点1：当$|x| < 1$时，$x^{2n} \to 0$，此时$f(x) = 1 + x$；
• 关键点2：当$|x| > 1$时，$x^{2n} \to +\infty$，此时$f(x) = 0$；
• 关键点3：当$x = 1$时，分子分母均为有限值，需单独计算；
• 关键点4：通过分段点$x = -1$和$x = 1$处的左右极限与函数值的关系，判断连续性。

步骤1：分情况讨论$x$的取值范围

1. 当$|x| < 1$时：
   $x^{2n} \to 0$，因此
   $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{1 + x^{2n}} = \frac{1+x}{1 + 0} = 1 + x.$

2. 当$|x| > 1$时：
   $x^{2n} \to +\infty$，分母主导项为$x^{2n}$，因此
   $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{1+x}{x^{2n}} = 0.$

3. 当$x = 1$时：
   分子为$1 + 1 = 2$，分母为$1 + 1^{2n} = 2$，因此
   $f(1) = \frac{2}{2} = 1.$

4. 当$x = -1$时：
   分子为$1 + (-1) = 0$，分母为$1 + (-1)^{2n} = 2$，因此
   $f(-1) = \frac{0}{2} = 0.$

步骤2：写出分段表达式

综合上述分析，函数$f(x)$的表达式为：
$f(x) = \begin{cases} 0, & x \leq -1 \text{ 或 } x \geq 1, \\1 + x, & -1 < x < 1, \\1, & x = 1.\end{cases}$

步骤3：判断间断点

1. 在$x = -1$处：

   • 左极限（$x \to -1^-$）：$f(x) = 0$；
   • 右极限（$x \to -1^+$）：$f(x) = 1 + (-1) = 0$；
   • 函数值$f(-1) = 0$。
     左右极限与函数值相等，故$x = -1$处连续。

2. 在$x = 1$处：

   • 左极限（$x \to 1^-$）：$f(x) = 1 + 1 = 2$；
   • 右极限（$x \to 1^+$）：$f(x) = 0$；
   • 函数值$f(1) = 1$。
     左右极限不相等，且均不等于函数值，故$x = 1$为跳跃间断点。